Геометричне моделювання багатокритеріальних задач техніки - Автореферат

У самому загальному випадку геометричною моделлю складної залежності між n змінними являється певний k-багатовид (1? k ? n-1) евклідового простору цих n змінних. Таким чином, взаємозалежність технічних параметрів моделюється взаємозалежністю параметрів геометричної моделі, а алгоритми розвязання геометричних задач на моделі відповідають певним технічним, результат розвязку яких трансформується на технічні параметри вихідного процесу. Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами Теоретичні дослідження дисертації відповідають науковій направленості і тематиці кафедри нарисної геометрії, інженерної та компютерної графіки НТУУ "КПІ" "Геометричне моделювання багатопараметричних залежностей між багатьма змінними стосовно розвязку інженерних задач" в рамках держбюджетної теми "Узагальнення синтезу моделей конструкторсько-технологічних поверхонь методами аналізу їх інваріантних складових", державний реєстраційний номер 0102 U 002464. Обєкт дослідження: Геометричне моделювання складних залежностей між багатьма змінними, що одночасно впливають одні на інші у різних комбінаціях, у вигляді відповідних багатовидів обхоплюючого простору всіх змінних. Розроблено геометричне представлення (моделювання) параметричних рівнянь кривих ліній, гіперповерхонь і багатовидів, взагалі, як геометричних моделей складних залежностей багатьох змінних.На підставі зробленого аналізу літератури виявлено невирішені на даний період задачі, зокрема, дослідження геометричної суті складних залежностей між багатьма змінними, що впливають одні на інші у різних комбінаціях, а також розвязання багатокритеріальних задач для таких залежностей та задача геометричного представлення параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь та багатовидів, взагалі, тощо. Геометричною моделлю є k-багатовид, що описується системою із n-k рівнянь, кожне з яких включає k аргументів. Геометричною моделлю є k-багатовид, що описується системою із n-k рівнянь, кожне з яких, взагалі, включає різне число аргументів і в інших комбінаціях. Взагалі, k - багатовид виражається системою n - k рівнянь: Зокрема, коли на кожну з функцій оптимізації впливають одночасно всі k аргументів (II група залежностей), система рівнянь k - багатовиду набуває вигляду: Кожне з рівнянь системи в геометричному розумінні розглядається в обхоплюючому n - просторі як рівняння проекціюючого гіперциліндра. Геометричною моделлю залежності є 2-багатовид Б2, який задається системою двох рівнянь, що відповідають двом проекціям Б12 і Б22 багатовиду Б2 на координатних підпросторах Ox1x2x3 та Ox1x2x4, відповідно.У роботі розширено клас геометричних моделей залежностей багатьох змінних у вигляді певних багатовидів на такі складні залежності, коли на функції впливають аргументи у різних комбінаціях. Розроблена методика розвязування багатокритеріальних задач компромісної оптимізації, що зводиться до розгляду системи складових (проекцій чи відповідних їм рівнянь) загальної залежності між всіма змінними, що сукупно відображають багатовид як геометричну модель (графік) загальної залежності і геометрично моделюються під багатовидами у відповідних координатних підпросторах обхоплюючого простору всіх змінних. Досліджено і встановлено геометричну суть параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь), багатовидів взагалі та запропоновано їхні відображення (графіки) у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи параметричних рівнянь, включаючи параметри.

Основний зміст роботи

1. У роботі розширено клас геометричних моделей залежностей багатьох змінних у вигляді певних багатовидів на такі складні залежності, коли на функції впливають аргументи у різних комбінаціях.

2. Розроблена методика розвязування багатокритеріальних задач компромісної оптимізації, що зводиться до розгляду системи складових (проекцій чи відповідних їм рівнянь) загальної залежності між всіма змінними, що сукупно відображають багатовид як геометричну модель (графік) загальної залежності і геометрично моделюються під багатовидами у відповідних координатних підпросторах обхоплюючого простору всіх змінних.

3. Досліджено і встановлено геометричну суть параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь), багатовидів взагалі та запропоновано їхні відображення (графіки) у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи параметричних рівнянь, включаючи параметри.

4. Запропоновано геометричне представлення (моделі) систем нелінійних рівнянь у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючомупросторі всіх змінних заданої системи.

5. Одержано рівняння алгебраїчних поверхонь 4-го порядку: двопорожнинного гіперболічного параболоїда з чотирма прямими та двопорожнинного параболічного параболоїда як окремих випадків багатовидів, та досліджені форма цих поверхонь і характерні їхні перерізи.

6. Розроблено спосіб побудови алгебраїчних плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, витягнутої і стиснутої лемніскат, що розглядаються як узагальнення лемніскати Бернуллі.

7. Одержані теоретичні результати дисертації впроваджені у виробництво в галузі поліграфічної промисловості, в конструкціях кутових переходів газонафтопроводів, у навчальному процесі при викладанні курсів фізики, математичного моделювання, математичного аналізу та диференціальної геометрії на фізико-математичному факультеті Національного технічного університету "Київський політехнічний інститут".

8. Запропоновані методи формалізованого геометричного моделювання складних багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно та алгоритми їх розвязування можуть бути застосовані для розвязування аналогічних задач різної фізичної природи у будь-якій галузі.

9. У подальшому розвитку приведених у роботі досліджень запропоноване геометричне представлення (графіки) систем нелінійних рівнянь як і систем параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь) і багатовидів, взагалі, сприятиме удосконаленню методів дослідження таких систем.

1. Гумен О.М. Узагальнення кривих Персея-Кассіні / Зб. тез доповідей Міжнародної науково-технічної студентської конференції, Львів, 1998. - с.101-102.

2. Гумен О.М. Двопорожнинний параболічний параболоїд 4-го порядку / Зб. Прикладна геометрія та інженерна графіка, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в.4, т.18, Мелітополь: ТДАТА, 2003. - с.108-112.

3. Гумен О.М., Ванін В.В. Гіперболічний двопорожнинний параболоїд 4-го порядку з порожнинами одного напряму та чотирма спільними прямими / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в.4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т. 19, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с.53-58.

4. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь кривих ліній / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в.4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т.21, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с.89-92.

5. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь поверхонь і багатовидів / Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання", Львів, - 2003.

6. Гумен О.М. Геометричне розвязання задач оптимізації за багатьма критеріями одночасно, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, в.4, Прикладна геом. та інж. графіка, т.22, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003, - с.121-127.

7. Гумен О.М., Гумен М.С. Витягнена та стиснена лемніскати як узагальнення лемніскати Бернуллі: НТУУ "КПІ", ДНТБ України від 12.03.1996 р., Деп. в УКРІНТЕІ, №737, Ук.96. - 4 с.

8. Гумен О.М., Гумен М.С. Одне узагальнення овалів Кассіні / Зб. Прикладна геом. та інж. графіка, В.59, - К.: КГТУСА, 1996. - с.33-36.

9. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі всіх аргументів на всі функції / Сб. Трудов Международной научно-практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования", ч. I, - Мелитополь, 1996. - с.20 - 21.

10. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі на функції частини аргументів у різних співвідношеннях / Матеріали Міжнародного наукового симпозиуму "Нарисна геометрія, інженерна та компютерна графіка" до 250-річчя з дня народження Гаспара Монжа, Львів, 1996. - с.13.

11. Гумен М.С., Гумен О.М. До питання класифікації параболоїдів 4-го порядку / Сб. Трудов IV Международной научно-практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования", ч.2, - Мелитополь, 1997. - с.105-109.