Геометричне моделювання багатократних відбиттів світлових і теплових променів в еліптичних областях - Автореферат

Крім використання в чисто математичних дослідженнях, більярди цікаві тим, що вони моделюють складні фізичні процеси в радіотехніці (при конструюванні відкритих резонаторів і хвилеводів), в оптиці (при розрахунку дзеркальних відбиттів, розвязання завдань про освітлення, моделювання фокусування променів у лазерах), в акустиці (побудова “галерей, що шепочуть”). Звідси стає зрозумілою актуальність обраного напрямку досліджень, що полягає в розробці теоретичної бази геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик (як приклад, в еліпсі) з метою виявлення заданих траєкторій. Наукову новизну роботи має метод унаочнення та виявлення характерних ознак траєкторій точки математичних більярдів в області еліпса, складовими якого є нові способи: - визначення функції відбиття, яка дозволяє спростити побудову; Використання “функції відбиття” дозволяє складати простіші алгоритми трасування більярдів, у якому будуть відсутні перевірки кутів падіння й відбиття (рис. Ці твердження покладено в основу дослідження питань, повязаних з оцінками кількості напрямів рухів з точки А, після яких промінь має пройти через точку В за умови певної кількості відбиттів від кола.Запропоновано метод унаочнення траєкторій математичних більярдів, складовими якого є нові способи: визначення функції відбиття, що дозволяє істотно спростити побудови траєкторій; реалізації фазових портретів еліптичних більярдів; реалізації катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів; а також трасування більярдних променів у силових полях і комбінованих областях. Значення для практики досліджень полягає в скорочення термінів та підвищенні точності моделювання, створення моделей, що задовольняють множині заданих вимог і прискорюють одержання бажаного результату. Розроблено математичне забезпечення різновидів версій алгоритмів трасування математичних більярдів в еліпсі, що дозволило прискорити виявлення характерних та наперед заданих траєкторій. Розроблено алгоритмічну реалізацію наступних ознак: а) циклічності траєкторій, що проходять через задану точку; б) кількості початкових напрямів руху точки для досягнення заданого положення за умови заданої кількості відбиттів; в) степеню „щільності” заповнення еліпса траєкторіями; г) нібито парадоксу при проходженні траєкторії через фокуси, що дозволило наочно продемонструвати феномен нестійкості обчислювального процесу. Для процесора Maple було складено програми побудови траєкторій математичних більярдів у силових полях та комбінованих областях, а також алгоритми побудови траєкторій просторових математичних більярдів для порожнини еліпсоїда.

Дисертацію присвячено новому розвязанню задачі геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик в еліптичних областях з метою виявлення характерних та наперед заданих траєкторій. Запропоновано метод унаочнення траєкторій математичних більярдів, складовими якого є нові способи: визначення функції відбиття, що дозволяє істотно спростити побудови траєкторій; реалізації фазових портретів еліптичних більярдів; реалізації катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів; а також трасування більярдних променів у силових полях і комбінованих областях.

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку способів дослідження більярдних траєкторій.

Значення для практики досліджень полягає в скорочення термінів та підвищенні точності моделювання, створення моделей, що задовольняють множині заданих вимог і прискорюють одержання бажаного результату.

При цьому отримані результати, що мають науково - практичну цінність.

1. Здійснено огляд алгоритмів трасування більярдів в еліпсі, з кого випливає необхідність створення комплексного підходу до розрахунку математичних більярдів.

2. Розроблено математичне забезпечення різновидів версій алгоритмів трасування математичних більярдів в еліпсі, що дозволило прискорити виявлення характерних та наперед заданих траєкторій.

3. Розроблено алгоритмічну реалізацію наступних ознак: а) циклічності траєкторій, що проходять через задану точку; б) кількості початкових напрямів руху точки для досягнення заданого положення за умови заданої кількості відбиттів; в) степеню „щільності” заповнення еліпса траєкторіями; г) нібито парадоксу при проходженні траєкторії через фокуси, що дозволило наочно продемонструвати феномен нестійкості обчислювального процесу.

4. Виявлено звязок між кривими - „оптичною” катакаустикою N-тих відбиттів і „механічною” епітрохоїдою, що дозволило розширити клас ліній, для яких визначаються відбивальні системи.

5. Розроблено математичне забезпечення опису катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів, що дозволило здійснити привязку математичних більярдів до параметрів конкретної кривої.

6. Для процесора Maple було складено програми побудови траєкторій математичних більярдів у силових полях та комбінованих областях, а також алгоритми побудови траєкторій просторових математичних більярдів для порожнини еліпсоїда.

7. Результати впроваджено в Харківському державному університеті харчування та торгівлі при проектуванні варіанту жарочної шафи, та у навчальному процесі кафедри механіки і графіки ХДУХТ.

Результати дисертаційної роботи викладені у таких працях

1. Білецький С.В. Пояснення ефекту галереї, яка шепоче, засобами теорії математичних більярдів // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2005. Вип. 4. Т. 29. С. 88 - 93

2. Білецький С.В. Математичні більярди в прямокутнику та їх звязок з фігурами Ліссажу // Геометричне та компютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 7. С. 135-139.

3. Білецький С.В. Геометричне моделювання циклічних траєкторій математичного більярда в колі // Геометричне та компютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 9. С. 142-149.

4. Сухобоков А.Ф., Білецький С.В. Про траєкторії променя в еліпсі, коли кут відбиття не дорівнює куту падіння // Геометричне та компютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 13. С. 166-172.

Особисто здобувач розробив для математичного процесора Maple версії програм трасування більярдних променів у еліпсі, коли не виконується умова Декарта-Снеліуса.

5. Куценко Л.М., Білецький С.В. Інтерпретація одного поверхневого ефекту засобами математичних більярдів // Геометричне та компютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2006. Вип. 14. С. 8-15.

Особисто здобувач виконав огляд літературних джерел, де пояснюється ефект галереї, яка шепоче, засобами теорії математичних більярдів.

6. Билецкий С.В., Ситабдиев Б.Б. Моделирование эффекта “теплового резонанса” при конструировании жарочных шкафов // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. Вип. 2(43), Дніпропетровськ, 2006. С. 29 - 33.

Особисто здобувач розробив для математичного процесора Maple версії програм визначення умови існування ефекту “теплового резонансу”.

7. Білецький С.В., Сітабдієв Б.Б. Трасування кульки математичного більярда в трикутному перерізі піраміди // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2006. Вип. 4. Т.31. С. 153 - 159.