Розгляд основних відмінностей геометричних систем, побудованих за ідеями Келі. Аналіз геометрії Келі-Клейна поза круговим абсолютом II. Особливості диференціальних метричних форм геометрії Рімана. Характеристика геометричних систем з афінною групою.
Звернемо перш за все увагу на ту обставину, що прямі, які лежать в цій області, природно, розбиваються на дві категорій: на прямі, що перетинають абсолют, і прямі, що не перетинають абсолют, тобто повністю лежать поза ним. Ця відмінність є істотною, так як перетворення, яке залишає абсолют інваріантним, перетворює прямі однієї категорії в прямі тієї ж самої категорії (оскільки точки, в яких пряма перетинає абсолют, переходять в точки, в яких абсолют перетинає образ прямої). Ця обставина може спочатку здаватися дивною: у знайомих до цих пір геометричних системах (у геометрії Евкліда і в геометрії Лобачевського) кожні дві точки можна зєднати прямою, тобто які б не були точки завжди існує пряма m, що проходить як через точку так і через точку . Таким чином, у порівнянні з геометрією Лобачевського, тут прямі і точки ніби «обмінялися ролями» (у системі для кожних двох точок можна знайти спільну для них пряму, але не для кожних двох прямих - спільну точку; в системі навпаки, для кожних двох прямих можна знайти спільну їх точку, але не для кожних двох точок - спільну пряму). Очевидно, що кут між прямими Q i Q вимірюється тим же числом, що і відстань між точками і перетину цих прямих з прямою , Значення кута наближається до нескінченності, коли одна з прямих Q , Q залишається нерухомою до однієї з ізотропних прямих Q i Q пучка.Ми розглянули девять різновидів нєєвклідової геометрії в просторі двох вимірів; та їх відображення (оригінал моделі, інтерпретації) на евклідовій площині. Перші три системи: (геометрія Лобачевського (НЕ) та її найближчі різновиди (НН) і (ЕН) справедливі при дійсному невиродженому абсолюті всередині або поза ним; система ЕЕ будується при уявному абсолюті, а абсолют решти пяти геометрій можна разглядати як вироджений конічний переріз. Остаточно приходимо до наступної таблиці: I Геометрія Лобачевського (НЕ); дійсний невироджений абсолют: внутрішня його область. ІІ Геометрія з гіперболічним виміром як відстаней, так і довжин (НН); дійсний невироджений абсолют; зовнішня його область; прямі - гіперболічні прямі. ІІ Геометрія, двоїста геометрії Лобачевського (ЕН); дійсний невироджений абсолют; зовнішня його область; прямі-еліптичні прямі.У рамках, хоча все було підготовлено для польоту, не було думки вильоту; з цієї ночі народився син, на корму секретаря Пруссії. У липні 1870 Клейн був у Парижі, коли Бісмарк, прусський канцлер, опублікував провокаційні повідомлення, спрямовані на гнів французького уряду. Клейн хотів побудувати школу в Ерланген, де було лише кілька студентів, але йому це не вдалося тому він був радий запропонованому місці в Мюнхені в 1875 році. Серед студентів, що Клейн вчив в той час як у Мюнхені були Гурвіца, фон Дейка, Рон, Рунге, Планка, Бианки і Річчі-Курбастро. Клейном був створений дослідний центр в Геттінгені який повиннен був служити в якості моделі для кращого математично науково-дослідницького центра по всьому світу.
Вывод
Ми розглянули девять різновидів нєєвклідової геометрії в просторі двох вимірів; та їх відображення (оригінал моделі, інтерпретації) на евклідовій площині. Перші три системи: (геометрія Лобачевського (НЕ) та її найближчі різновиди (НН) і (ЕН) справедливі при дійсному невиродженому абсолюті всередині або поза ним; система ЕЕ будується при уявному абсолюті, а абсолют решти пяти геометрій можна разглядати як вироджений конічний переріз. Остаточно приходимо до наступної таблиці: I Геометрія Лобачевського (НЕ); дійсний невироджений абсолют: внутрішня його область.
ІІ Геометрія з гіперболічним виміром як відстаней, так і довжин (НН); дійсний невироджений абсолют; зовнішня його область; прямі - гіперболічні прямі.
ІІ Геометрія, двоїста геометрії Лобачевського (ЕН); дійсний невироджений абсолют; зовнішня його область; прямі- еліптичні прямі.
III Геометрія Рімана (ЕЕ); абсолютом є уявна невироджена крива другого порядку.
IV Геометрія Евкліда (РЕ); абсолютом є дві циклічні точки площині-уявні спряжені точки нескінченно віддаленої прямії.
IV Псевдоєвклідова геометрія (РН); абсолютом є дві дійсні нескінченно віддалені точки площини.
V Геометрія, двоїста евклідовій геометрії (ЕР); абсолютом є дві паралельні уявні звязані прямі.
V Геометрія, двоїста до псевдоєвклідової геометрії (HP); абсолютом є дві дійсні паралельні прямі.
VI Геометрія з параболічним виміром як відстаней так і довжин (РР); абсолютом є нескінченно віддалена пряма з виділеною дійсною точкою на ній.
У тривимірному просторі до колишніх обєктів першого ступеня, обєкту вимірюванню (до прямолінійних відрізків і лінійних кутів), додається ще один объект-двогранні кути. Оскільки кожен з цих обєктів може допускати різного роду вимірювання (еліптичне, гіперболічне або параболічне), то тут можливі 27 комбінацій, тобто двадцять сім різних геометрій. Найважливіші типи цих систем вказані, хоча і не розглянуті повністю. Вважаємо, що ідея, за якою ці системи розрізняють і класифікують, достатньо зясована.
Проте Клейн неодноразово зауважував, що справа зовсім не лише в тому, щоб перерахувати можливі системи; потрібно дійсно побудувати геометрію для кожної з цих систем, встановити її аксіоматику, з цієї аксіоматики дедуктивно вивести саму геометрію кожної системи і її метрику. Але це в необхідному обємі ще не виконано і на теперішній час.
Список литературы
1.Гильберт Д., Основания геометрии м. - л., Гостехиздат, 1948.
2.Костип В.И.,Основания геометрии м. - л., Гостехиздат, 1946.
3.Несторович Н.М., Геометрические построения в плоскости Лобачевського. м. - л., Гостехиздат, 1951.
4.Смогоржевський А.С., Геометрические построения в плоскости Лобачевського. м. - л., Гостехиздат, 1951.
5.Глаголев Н.А., Проэктивная геометрия. м. - л., ОНТИ, 1936.
6.Эйзенхарт А.П., Риманова геометрия. м. - л., ИЛ., 1948.
7.Рошевський П.К., Введение в риманову геометрию и тензорный аналіз. м. - л., ОНТИ, 1936.
8.Букреев Б.А., Планиметрия Лобачевського в аналитическом изложения. м. - л., Гостехиздат, 1951.
9.Шатуповский С.О., Введение в анализ. Одесса, Матерес, 1923.
10.Дубров Я.С., Векторное исчиление. ч., м. - л., Гостехиздат, 1950.
11.Каган В.Ф., Основы теории поверхностей. тт. 1, 2, м. - л., Гостехиздат, 1947, 1948.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
