Геометрические построения на плоскости различными инструментами - Дипломная работа

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в VI-V веках до нашей эры. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки. Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение.Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку). Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Пересечением, или общей частью нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур. Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки.В настоящем пункте сформулируем систему четырех аксиом, из которой следуют или содержатся в ней все аксиомы I-IX. Если построены две фигуры, то можно установить является ли их разность пустым множеством или нет. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность также построена. Если две фигуры построены, то можно считать известным, является ли их пересечение пустым множеством или нет. Если построены две фигуры и их пересечение не пусто, то это пересечение должно считаться построенным.Аксиома IX позволяет строить некоторые новые точки, но этим точкам не приписывается никаких определенных свойств, кроме свойства быть новыми, ранее не построенными точками. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения: a) Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы); c) Если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если АВ>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h. c) Если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку. Построение прямой линии считается оконченным, как только построены две любые ее точки; отрезок считается известным, если построены его концы и луч - если построены его начало и какая-либо принадлежащая ему точка.Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка. Рассмотрим общий метод решения конструктивных задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. геометрия плоскость циркуль линейка Представим задачу решенной одним циркулем в классическом смысле, при свободном пользовании циркулем, когда на раствор ножек никаких ограничений не накладывается. Если все отрезки, данные в задачи, в том числе и отрезки, определяющие радиусы заданных окружностей, уменьшить в 2n раз и затем провести решение данным циркулем, то в результате получим фигуру Ф", подобную фигуре Ф с коэффициентом подобия, равным 1/22. При решении задач на построение число n обычно бывает неизвестным, т.к. данным циркулем нельзя построить фигуру Ф, а значит неизвестен радиус R1 наибольшей из окружностей.Но исследования этого вопроса показали, что для решения как угодно сложной геометрической задачи на построение, разрешимой циркулем и линейкой, достаточно воспользоваться циркулем не более одного раза. Всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен ее центр. Пусть О 1-центр данной окружности, Р 1-данная ее точка, (О,r)-вспомогательная окружность, а 1 - данная прямая. В пересечении прямой а с окружностью найдутся прообразы Х и Y искомых точек, а сами искомые точки Х 1 и Y1 будут точками пересечения прямых SX и SY с прямой а 1. Радикальная ось двух окружностей перпендикулярна к линии их центров и пересекает ее в точке Р, для которой разность квадратов расстояний от центров окружностей равна разности квадратов радиусов этих окружностей (рис.2) Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей (рис. Проводят через P прямую h и дважды прикладывают к ней линейку; затем помещают линейку в плоскости чертежа так, чтобы один ее край проходил через P, а другой - через А. Для того чтобы удвоить угол MSN, при

Введение

Глава 1. Геометрические построения на плоскости

1.1 Основы теории геометрических построений

1.1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

1.1.2 Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии

1.1.3 Инструменты геометрических построений

1.2 Построение одним циркулем

1.2.1 О возможности решения геометрических задач на построение одним циркулем

1.2.2 Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением

1.3 Геометрические построения на плоскости различными инструментами

1.3.1 Построение одной линейкой

1.3.2 Применение других инструментов для построения

Глава 2. Методика решения задач на построение

2.1 Характеристика задач на построение

2.1.1 Задача на построение

2.1.2 Элементарные геометрические задачи на построение

2.1.3 Этапы решения геометрической задачи на построение

2.1.4 Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

2.2 Основные методы решения задач на построение

2.2.1 Общее понятие о точечных преобразованиях фигур

2.2.2 Метод параллельного переноса

2.2.3 Метод поворота или вращения

2.2.4 Метод осевой симметрии

2.2.5 Метод геометрических мест точек

2.2.6 Метод подобия или гомотетии

2.2.7 Алгебраический метод

2.3 Применение метода ГМТ при решении задач на построение

2.3.1 Методические рекомендации по методу ГМТ

2.3.2 Программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме: "Задачи на построение и методы их решения"

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 1

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в VI-V веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Апполоний, Папп и многие другие. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.

Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс. В XVII-XIX веках разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX веках появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений.

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Они обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части.

Целью данной работы является изучение различных методов решения задач на построение.

В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи: 1. Описать основы геометрических построений;

2. Показать применение различных инструментов для построения при решении задач;

3. Дать характеристику задач на построение;

4. Рассмотреть методы решения задач на построение.

Объектом исследования является конструктивная геометрия.

Предмет исследования - геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.

Основное содержание работы изложено в двух главах.

В первой главе приводится основание конструктивной геометрии и возможности решения геометрических задач на построение различными инструментами.

Вторая глава посвящена методике решения задач на построение. В ней дана характеристика задач на построение, изложены основные методы решения задач. В данной главе приводится программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме "Задачи на построение и методы их решения", которая может быть использована в учебном процессе, т.к. наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. А задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, и недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры.