Геометрія Лобачевського - Курсовая работа

Легче остановить Солнце, легче двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению, и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расстояние. Серед всіх аксіом Евкліда виділяється «аксіома про паралельні»: Дві прямі a і b, перетнуті третьою, перетинаються між собою з тієї сторони, де сума внутрішніх односторонніх кутів і менше суми двох прямих кутів (мал. При обертанні проти годинникової стрілки ми зустрінемо перший з непересічних променів; він називається паралельним прямій а; кут, який цей промінь утворює з променем ВА, називається кутом паралелізму. Все сказане справедливе незалежно від аксіоми Евкліда, яка стверджує, що кут паралелізму - прямий, так що при (d - позначення величини прямого кута.) промінь b перетинає пряму а. Якщо ж , то з цього припущення випливають зовсім інші наслідки, які складають зміст нової геометрії Лобачевського, яку він називає «уявною», а ми тепер називаємо геометрією Лобачевського.Основний постулат механіки Ньютона - принцип відносності Галілея - свідчить: всі закони механіки у всіх інерціальних системах відліку однакові (система відліку називається інерціальною, якщо в ній будь-яке тіло має властивість зберігати стан спокою або прямолінійного рівномірного руху при відсутності діючих на нього сил). Тому, вимірюючи швидкість світла в різних напрямках ми можемо знайти швидкість, з якою Земля рухається відносно нерухомого ефіру. Морлі, однак результат виявився неочікуваним: не дивлячись на те, що Земля рухається навколо Сонця зі швидкістю 30 км/с, швидкість світла у всіх напрямках одна і та ж. Будемо вважати, що осі координат в обох системах паралельні, а швидкість другої системи відносно першої направлена вздовж осі Ох. Жодне тіло не може рухатись зі швидкістю, більшою за швидкість світла, тому відстань між двома подіями «в житті» одного і того ж тіла виражається дійсним числом.Тому і хвилі, які описуються цими рівняннями, називаються лінійними. У процесі розвитку теорії нелінійних хвиль виділилося кілька найпростіших нелінійних диференціальних рівнянь, розвязання яких моделюють основні властивості таких хвиль. Уявимо рибальську сітку, вузли якої закріплені так, що за будь-яких згинаннях сітки довжину протилежних «сторін» будь-якого «сіткового чотирикутника» однакові (цю сітку називають чебишевою). Накинемо таку сітку на яку-небудь поверхню і введемо з її допомогою внутрішніх координат на цій поверхні. У разі сталої відємної кривини-1 (площини Лобачевського) це рівняння переходить в рівняння синус-Гордона.Відкриття нової геометрії відомими вченими виявила великий вплив на розвиток всієї науки. Роль геометрії Лобачевського в наші дні визначається, насамперед, тим, що вона є простою (з точки зору вивчення) моделлю ріманових просторів відємної кривизни, на якій реалізуються всі основні властивості таких просторів. Розглянуті мною простір швидкостей, фрідманівська модель Всесвіту і рівняння синус-Гордона дозволяють уявити собі загальну ситуацію, в якій геометрія Лобачевського входить в контакт з сучасною фізикою. Ці геометрії складають далеко не повний список всього многовиду існуючих геометрій. Лобачевський встановив, що його геометрія має пряме відношення до зоряної геометрії, тобто до геометрії космічного простору.

Зміст

Вступ

1. Простір швидкостей і геометрія Лобачевського

2. Фрідманська модель Всесвіту

3. Рівняння синус-Гордона

Висновки

Література

Відкриття нової геометрії відомими вченими виявила великий вплив на розвиток всієї науки. Найбільш яскраво це виразилося у подальшому поглибленні наших уявлень про поняття простору. Можна цілком чітко сказати, що основні напрямки сучасної фізики повязані з розвитком цього поняття. Однак роль геометрії Лобачевського цим не вичерпується. Останнім часом вона все ширше і ширше застосовується в найрізноманітніших розділах природознавства - у фізиці, хімії, біології і, звичайно ж, у самій математиці. Роль геометрії Лобачевського в наші дні визначається, насамперед, тим, що вона є простою (з точки зору вивчення) моделлю ріманових просторів відємної кривизни, на якій реалізуються всі основні властивості таких просторів. Завдяки цьому інтерес до неї не тільки не слабшає, але і помітно зростає. Розглянуті мною простір швидкостей, фрідманівська модель Всесвіту і рівняння синус-Гордона дозволяють уявити собі загальну ситуацію, в якій геометрія Лобачевського входить в контакт з сучасною фізикою.

Геометрія Лобачевського стала прикладом для побудови інших неевклідових геометрій: сферичної геометрії, еліптичної геометрії або геометрії Рімана, недезаргової геометрії. Ці геометрії складають далеко не повний список всього многовиду існуючих геометрій. Неевклідові геометрії відіграли велику роль при побудові А. Ейнштейном теорії відносності, в якій необхідно було прийняти факт викривлення оточуючого нас простору.

Лобачевський встановив, що його геометрія має пряме відношення до зоряної геометрії, тобто до геометрії космічного простору. На нашій планеті в рамках звичайних земних масштабів люди використовують геометрію Евкліда як найбільш просту, що вірно відображає реальну дійсність. Справа зовсім змінюється, коли ми переходимо від земних масштабів до надто великих масштабів макросвіту або надто малих масштабів мікросвіту. Вважати, що і тут діє геометрія Евкліда, було б невірно. Досягнення фізики говорять про те, що фізичні простори надто великих масштабів ведуть себе як неевклідові.

Значний крок в розвитку неевклідової геометрії був зроблений Г. Ріманом. Він вніс в число аксіом наступну пропозицію: кожна пряма, яка лежить в одній площині з даною прямою, перетинає цю пряму. Це означає, що в геометрії Рімана взагалі немає паралельних прямих, сума кутів довільного трикутника на відміну від геометрії Евкліда і геометрії Лобачевського більше 2d. З’ясувалося, що геометрія Рімана несуперечлива. При цьому простір Лобачевського став одним з часткових випадків ріманових просторів.

Наука наблизилась до відповіді на поставлене запитання про геометрію Всесвіту після відкриття на початку ХХ століття Ейнштейном спеціальної і загальної теорії відносності. Існувала думка, що загальна теорія відносності представляє собою перший приклад суто фізичної теорії, яка з’явилася в результаті математичного стрибка в невідоме.

Із загальної теорії відносності випливає, що простір викривлений. Це пояснюється тим, що поблизу тіл, які мають велику масу (наприклад, поблизу Сонця, зірок), закони ньютонівської механіки змінюються, геометрія простору стає неевклідовою. Добре відомо, що однією з поширених моделей прямої є промінь світла. Однак світло, яке проходить повз Сонце або яких-небудь зірок, під впливом сили тяжіння згинає свою траєкторію.

Геометрія Лобачевського знаходить в наш час важливе застосування в теорії функцій комплексної змінної, яка є математичною основою сучасної гідродинаміки, аеродинаміки і теорії пружності. Значення геометрії Лобачевського ще більше зросло завдяки роботам американського математика Тьорстона, який встановив її зв’язок з топологією тривимірних многовидів. У зв’язку з цим можна сказати, що романтичний період в історії геометрії Лобачевського закінчився, коли основна увага вчених та дослідників була звернута на її осмислення з точки зору основ геометрії взагалі.

1. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика - М.: Знание, 1984 - 64 с.

2. Смородинский Я.А., Сурков Е.Л. Геометрия Лобачевского и теорія относительности - М.: Знание, 1971 - 48 с.

3. Науково-популярний журнал «Квант» - М.: Наука, 1976 - №2, 64 с.

Размещено на .ru