Функциональный метод решения неравенств - Дипломная работа

Министерство образования и науки РФ Таганрогский государственный педагогический институт (дипломная работа) на тему: «Функциональный метод решения неравенств»Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе, где используются задания вида: «сравнить числа», «сравнить значения выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи, предполагающие составление числовых неравенств. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе - 25%, в 9 классе - 30%, в 10-11 классах - 38%. Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции; исследование функции (монотонность, ограниченность функции).С алгоритмом решения линейных неравенств учащиеся знакомятся в VII классе, после изучения соответствующего вида уравнений и свойств линейной функции. При всех значениях параметра а решить неравенство . Например, чтобы найти область определения выражения , надо решить систему ; чтобы найти множество решений неравенства , надо решить системы Рассмотрим пример, требующий составления систем неравенств. Так как данное неравенство должно иметь отрицательные решения, то прямая должна пересекать график функции при , причем прямая должна лежать ниже гиперболы, и так как-5 - это наибольшее отрицательное решение неравенства, то - это абсцисса точки пересечения графиков функций и .Ранее при решении квадратичных неравенств в школьном курсе использовалась методика, по которой решение неравенств вида 0 основывалась на результате исследования квадратного трехчлена, полученного путем довольно сложных аналитических рассуждений. При решении неравенств вида 0 используются соображения о расположении графика квадратичной функции относительно оси ОХ, которое определяется двумя условиями: 1) является ли значение дискриминанта D квадратичного трехчлена положительным числом, нулем или отрицательным числом; Используя рисунок устанавливаем, что множество решений неравенства есть . Приведем решение одного неравенства, которое развивает у учащихся навыки работы с квадратичными неравенствами. Если , то парабола имеет с осью ОХ две точки пересечения, значит, решением неравенства являются значения , но они не удовлетворяют поставленной задаче. б.Важно при решении иррациональных неравенств обращать особое внимание на область допустимых значений функций. Например, решить неравенства: а) , выполнимо при ; б) согласно области определения неравенство не выполняется ни при каких значениях х; Обобщая изложенное можно сделать заключение о том, что заменяя, скажем, неравенство неравенством, мы применяем к обеим частям исходного неравенства функцию . Найдем значения: Если теперь провести горизонтальные прямые для различных значений а, то из графика видно, что для значений и только для них существуют прямые : 1) пересекают график функции;Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой, функция положительна и строго монотонна, следовательно, при неравенство (1) выполняется при любом х из области допустимых значений, а неравенство (2) не имеет решений. Запишем неравенство в виде: Ответ: при ; при , В этом параграфе мы покажем, как на основе свойств показательной функции различные типы показательных неравенств сводятся к решению простейших показательных неравенств. Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решается по схеме 1. По данной схеме неравенство равносильно совокупности двух систем: Ответ: Кроме предложенных выше видов неравенств, предлагается решить графически неравенства, которые нельзя решить аналитически. Решением данного неравенства будут те значения х, для каждого из которых график функции лежит ниже графика .Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как Ответ: . При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться. Ответ: При решении неравенства воспользовались следующим утверждением: Пусть функция монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство примет вид: Следствие: Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения более сложных задач.

Содержание

Введение

1. Линейные неравенства

2. Квадратичные неравенства

3. Иррациональные неравенства

4. Показательные неравенства

5. Логарифмические неравенства

6. Некоторые лжепреобразования

Заключение

Литература