Изложение теории бесселевых функций, их приложения к уравнениям математической физики. Виды цилиндрических функций. Применение бесселевых функций в математической физике на примере некоторых задач. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Позже, в 1824 году, Бессель положил интеграл в основу изучения функций, которые теперь носят его имя. Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (2), которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых, зависит только от одного аргумента, т.е. найти все решения вида u = R (r) Ф (j) Z (z), (R, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми). Полагая и этом случае b = n2, обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную (функцию - буквой у (вместо R), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид: x2y?? xy? (x2 - n2) y == 0 (4) Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями. Функция называется бесселевой, функцией 1-города с индексом n.Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций: одной - только от р, второй - от j и третьей - от z: U = R(p) Ф(j) Z(z). Наконец, третье уравнение дает Zp(kr), где Zp(z) есть - любое решение уравнения Бесселя с параметром р. Если, мы хотим получить решение, конечное при r= 0, то в формуле (2) должны положить постоянную С2 равной нулю, и будем иметь решения вида e±KZJ0(kp). Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено решение , являющееся основным в теории ньютоновского потенциала, а именно, имеет место формула Решения этого уравнения имеют вид Zp(kp) , где Zp(z) - любое решение уравнения Бесселя с параметром р.В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по бесселевым функциям. В первой главе дано описание бесселевых функций, их свойств и соотношений.
Введение
Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с вычислением некоторых определенных интегралов. Опишем кратко оба типа приложений, причем начнем с последнего.
В 1770 году Лагранж изучил эллиптические движения планет вокруг Солнца. Пусть а и b - большая и малая главные полуоси эллиптической орбиты; обозначим эксцентриситет эллипса через , и пусть r, М, Е - соответственно радиус-вектор, главная аномалия и эксцентрическая аномалия. Лагранж получил между этими величинами следующие соотношения: M = E - e sin E, (1) r = a (1 - e cos E) = . (2)
Они приводят к разложениям
(3)
В 1819 году Бессель выразил коэффициенты этих разложений в интегралах. Например,
С помощью простого преобразования встречающийся здесь интеграл может быть выражен через коэффициенты Бесселя. Первое разложение (3) принимает при этом вид а второе разложение (3) может быть преобразовано к виду
Позже, в 1824 году, Бессель положил интеграл в основу изучения функций, которые теперь носят его имя.
Функции Бесселя чаще всего встречаются в связи с дифференциальными уравнениями. В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций прослежена вплоть до И. Бернулли (около 1700 года). У Эйлера (1764) и Пуассона (1823) функции Бесселя обычно связывались с дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических полярных координатах.
Приложение бесселевых функций широко используется в прикладной физике: уравнение Лапласа, волновое уравнение и т.д. Большинство приложений функций Бесселя относятся к колебаниям систем, обладающих осевой симметрией. Обычно координата Z изменяется мало, или искомая функция не зависит от Z. Даже в случаях, когда зависимость от Z существенна, функции Бесселя дают наилучший метод решения, если границы представляют собой плоскости постоянных Z. В задачах о колебаниях областей со сферическими границами появляются функции Бесселя полуцелого порядка в колебании с функциями Лежандра. Они встречаются также в различных одномерных задачах, особенно в задачах о колебаниях невесомой струны, нагруженной через равные интервалы тяжелыми частицами, и о распространении электрических волн по подводному кабелю, а также во многих других задачах математической физики.
Целью дипломной работы является изложение теории бесселевых функций, их приложения к уравнениям математической физики и составление пособия для студентов по данной теме.
В соответствии с целью данного исследования в дипломной работе был поставлен ряд задач: проанализировать и обобщить литературу по основам теории функций Бесселя;
изучить теорию бесселевых функций с помощью средств математического анализа;
рассмотреть виды цилиндрических функций;
рассмотреть применение бесселевых функций в математической физике на примере некоторых задач.
Объектом исследования в дипломной работе является: изучение теории функции Бесселя.
Предметом исследования является: возможность применения теории бесселевых функций к решению уравнений математической физики.
1. Функции Бесселя
1.1 Бесселевы функции с любым индексом бесселевый цилиндрический лаплас уравнение
1.1.1 Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве: ¶2u ¶2u ¶2u =0 (1)
¶x2 ¶y2 ¶z2
(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими).
Если перейти к цилиндрическим, координатам по формулам: x = r cos j, y = r sin j, z = z, то, согласно формуле уравнение (1) принимает вид: ¶2u 1 ¶u 1 ¶2u ¶2u =0. (2)
¶r2 r ¶r r2 ¶j2 ¶z2
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (2), которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых, зависит только от одного аргумента, т.е. найти все решения вида u = R (r) Ф (j) Z (z), (R, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми).
Пусть u есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (2), получим: R??ФZ 1 R?ФZ 1 RФ??Z RФZ?? = 0, r r2 откуда (после деления на RФZ)
R?? 1 R? 1 Ф?? Z?? = 0.
R r R r2 Ф Z
Записав это в виде: - R?? - 1 R? - 1 Ф?? = Z?? , R r R r2 Ф Z найдем, что левая часть не зависит от z, правая не зависит от r, j; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная а. Отсюда
В последнем равенстве левая часть не зависит от j, правая не зависит от r; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная b. Отсюда
Таким образом, R, Ф, Z должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка r2R» RR? (ar2 - b) R = 0, ф» BФ = 0, Z?? - AZ = 0, (3) из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если R, Ф, Z удовлетворяют уравнениям (3), то u = RФZ есть решение уравнения (2). В самом деле, вставляя RФZ в левую часть (2) и деля затем на RФZ, получим: R?? 1 R? 1 Ф?? Z?? == R?? 1 R? - b a =
R r R r2 Ф Z R r R r2
= r2R?? RR (ar2 - b) R = 0. r2R
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть u = RФZ, где R, Ф, Z суть любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел а, b.
Первое из уравнений (3) в случае а = 1, b ? 0 называется уравнением Бесселя. Полагая и этом случае b = n2, обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную (функцию - буквой у (вместо R), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
x2y?? xy? (x2 - n2) y == 0 (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
1.1.2 Бесселевы функции 1-города
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда
Тогда
Следовательно, приходим к требованию или к бесконечной системе уравнений
Первая из них удовлетворится, если взять a1 = 0, a3 = 0, a5 = 0,… Во второй системе a0 можно взять произвольно: тогда а2, а4 а6,… однозначно определяются (если n не является целым отрицательным числом). Взяв a0 = 1 , 2NГ(n 1) найдем последовательно: a2 = - a0 == - 1 == - 1 ;
4 ? 3 (n 3) 2n 03! (n 3) Г (n 3) 2n 03! Г (n 4) и в качестве решения уравнения (4) получим ряд
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений х и, следовательно, является решением уравнения (4) в области 0 < x < ? (в случае целого n в области - ? < x< ?).
Функция
называется бесселевой, функцией 1-города с индексом n. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса n, учитывая Г (фn 1) = 1?2?3…n = n!, получим;
и, в частности,
1.1.3 Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса n функции Jn (х) и J-n (x) являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя (4) есть y = C1 Jn(x) C2 J-n(x). (6)
Если n = - n (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для s = 0, -1, - 2,…), принимает вид или, после замены индекса суммирования k на l n, откуда видно, что J-n (х) удовлетворяет вместе с Jn (х) уравнению Бесселя x2y?? xy? (x2 - n2) y = 0.
Но формула (6) в случае целого n уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая yn(x) = Jn(x) cos np - J-n (x) (n - не целое) (8) sin np и дополняя это определение для n = n (целое число) формулой
Yn (x) =lim Yn(x) (8?) n®n получим функцию Yn(x), удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от Jn(х) (в случае n = n, где n - целое, этот факт, как и само определение Yn, нуждается в обоснованиях, но это мы оставляем в стороне). Функция Yn(х) называется бесселевой функцией 2-города с индексом n. Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде y = C1Jn(x) C2Yn(x) (9)
1.2 Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
Следовательно,
Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к повышает в этом выражении индекс n на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию m раз, где m - любое натуральное число, получаем:
Имеем:
Следовательно,
Таким образом, операция , примененная к XNJN(x), понижает в этом выражении индекс n на единицу. Применяя эту операцию m раз, получаем:
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
Отсюда, в частности, следует, что J?0 = - J1. Используя (11), получим:
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через J0, J1. Действительно, из (13) находим (полагая n = n - 1): Jn= 2n - 2 Jn-1 - Jn-2, (13?) x откуда последовательно получаем:
1.3 Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом n , где n - целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
1.4 Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
1.4.1 Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему S функций fn(x) (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел: …, f -2 (x), f -1 (x), f0 (x), f1 (x), f2 (x), … составим ряд где z - комплексное переменное. Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т.е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 1). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и ?.
Функция
(где х лежит в области определения функций системы S, z - внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению х) называется производящей функцией системы S.
Обратно, пусть задана функция F (x, z), где х пробегает некоторое множество, z находится внутри некоторого кольца, зависящего от х, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность (в частности, эти кольца могут быть полной плоскостью комплексного переменного без точек 0 и ?). Тогда, если F (х, z) при каждом x аналитична относительно z внутри соответствующего кольца, то F (x, z) есть производящая функция некоторой системы S функций. В самом деле, разложив при каждом х функцию F (x, z) в ряд Лорана по степеням z найдем, что система коэффициентов fn (x) этого ряда будет искомой системой S.
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции fn (x) рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности С (комплексное параметрическое уравнение которой есть z = eij, - p ? j ? p) в простой интеграл, получим:
1.4.2 Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций 1-города с целыми индексами Jn(x) (n = 0, ± 1, ± 2,…) производящая функция есть:
Имеем:
откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени z) найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме k и l были связаны зависимостью l - k = n, то мы могли положить l = n k, получив суммирование по одному индексу k). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем тем целым k, для которых , следовательно, при n ? 0 это будет ; при n = - m < 0 это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть Jn (x) в силу формул (5?) и (5???). Итак,
но это и доказывает, что есть производящая функция для системы Jn(x). Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней z = eij, получим:
откуда после разделения действительной и мнимой части [учитывая, что J-n(x) = = (-1)n Jn(x)]
1.4.3 Интегральное представление Jn(x)
Так как, по доказанному, при fn(x) = Jn(x) имеем F (x, z) = , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что cos (x sin j - nj) есть четная функция от j, sin (x sin j - nj) есть нечетная функция от j.
Итак, доказано, что для любого целого числа n
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра x. Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для Jn(x), правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при n = 0 найдем:
1.5 Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть j (x) - положительная функция и ¦(x) - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значении х. Запись ¦ (x) = O [j(x)] при x ® ? означает, что найдутся такие числа х0 и М, что при x > x0 имеем |¦(x)|<Mj(x).
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если Ф (t) - положительная функция и F(t) - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений t, то запись F(t) = O [Ф(t)] при t ® 0 означает, что, найдутся такие числа e и М, что | F(t) | < МФ (t) на (0, e).
Вспомогательная лемма
Если ¦ (t) дважды непрерывно дифференцируема на [0,1], то для функции имеет место асимптотическое представление
Докажем эту лемму. Заменяя t на 1 - t, получим:
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя xt на t, найдем:
но, заменив t на t2 [учитывая формулу получим:
Если y (х) положительна, убывает и стремится к нулю при x ® ?, то при x ® ?, поэтому при x ® ?, откуда при x ® ?.
Итак, получаем асимптотическое представление:
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
Очевидно j (t) дважды непрерывно дифференцируема па (0, 1), но, как легко видеть, существуют поэтому j (t) (после доопределения в точке t = 0) становится непрерывно дифференцируемой на сегменте [0,1]. интегрирование по частям дает:
где первое слагаемое правой части - j (1) есть О при x ® ?, а интеграл во втором слагаемом (несобственный при нижнем пределе) мажорируется интегралом , который сходится, так как следовательно, второе слагаемое есть тоже О при x ® ?.
Итак, имеем:
Из (20), (21), (22), получаем искомое асимптотическое представление:
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
Формулы (23), (23?) верны для комплекснозначных функций f(t) = f1(t) if2 (t) [ибо они верны для f1(t) и f2(t)].
Вывод асимптотической формулы для Jn(x)
В конце 4-го раздела мы видели, что
Заменяя j на , получим:
(учитывая, что eix cos j cos nj есть четная функция от j, а eix cos j sin nj есть нечетная функция от j). Подстановка cos j = t дает:
где Tn(t) = cos (n arccos t) есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что cos nj есть полином n-й степени относительно cos j. Но
и, заменяя в первом из этих интегралов t на - t, получим:
Так как на [0, 1] имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (23?) и (23), и мы получаем
;
но T (-1) = cos np = (-1) = einp; T(1) = cos 0 =1, Следовательно,
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции 1-города с целым индексом для больших значений аргумента:
при x ® ?.
Эта формула показывает, что Jn(x) с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
2. Различные типы цилиндрических функций
2.1 Функции Ханкеля
Наряду с функциями Бесселя первого рода Jn(x) большое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля первого и второго рода , являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой:
где точками обозначены члены более высокого порядка малости относительно . Условия (1), (2), в силу раздела 7 главы I, определяют однозначно. Разделяя действительную и мнимую части, представим функцию Ханкеля в виде где функции имеют асимптотический характер что следует из формул (1) и (2).
Введенная здесь функция Jn(x) является функцией Бесселя первого рода, рассмотренной ранее. Мнимая часть Nn(x) функции Ханкеля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией второго рода n-го порядка.
Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотические формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию.
При изучении решений уравнения колебаний utt = a2 (uxx uyy) мы видели, что амплитуда u (x, у) установившихся колебаний u (x, y, t) = u(x, y,) eiwt удовлетворяет волновому уравнению uxx uyy k2u = ?u k2u = 0
Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией u(х, у) = u (г), то, функция u(kr) удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.
Таким образом, функции являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер цилиндрических волн. Функция соответствует расходящимся цилиндрическим волнам, а функция " - сходящимся цилиндрическим волнам (если взять временной множитель е-iwt, то расходящимся волнам соответствует , а сходящимся - .
Вторым важным свойством цилиндрических функций является их поведение при х ® 0. Функции и Nn при х ® 0 обращаются в бесконечность (так как Jn(0) конечно), точнее, , , так как J0 (0) = 1? ? 0; , , Nn(x) ~ при n > 0, так как Jn(x) ~ xn при х ® 0.
Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения ?2u k2u = 0, так как они имеют нужную логарифмическую особенность при . Приведем (без доказательства) точные выражения для главных членов разложения этих функций в окрестности точки х = 0:
2.2 Функции Ханкеля и Неймана
Как было отмечено в п. 1.3. главы I, всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка n выражается через функции Jn и J-n. Установим связь между функциями , , Nn и Jn, J-n.
Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом n можно представить в виде линейной комбинации функций Jn(x) и J-n(x), то (9) где C1 и С2 - постоянные, подлежащие определению. Для главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет место аналогичное равенство.
Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду
Сокращая обе части равенства (10) на и пользуясь формулой Эйлера для левой части, получаем:
Откуда
C1 C2 cos pn =1, - C2 sin pn = i или
Подставляя (11) в (9), находим:
Аналогично
Пользуясь формулой (4?), определяющей Nn(x), получаем из (12) и(13): (14)
Формулы (12), (13) и (14) получены нами для нецелых значений n. Для целого значения n = n функции Ханкеля и Неймана могут быть определены из (12), (13) и (14) с помощью предельного перехода при n ® n. Переходя в этих формулах к пределу при n ® n и раскрывая неопределенность по известному правилу, будем иметь:
Пользуясь представлением функций Jn и J-n, в виде степенных рядов, можно получить аналогичные представления для Nn(х), а также и .
Формулы (12) и (13) можно рассматривать как аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и другие способы введения функций Ханкеля (например, в виде контурных интегралов).
Если n = n , то функции Ханкеля и Неймана выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, при n = имеем:
2.3 Функции мнимого аргумента
Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В настоящем пункте мы рассмотрим цилиндрические функции первого рода от чисто мнимого аргумента.
Подставляя в ряд, определяющий Jn(х), значение ix вместо х, получаем:
- вещественная функция, связанная с Jn(ix) соотношением
In(x)== i-NJN(ix) или In(х) = .
В частности, при n = 0
Из ряда (16) видно, что In(х) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при х = 0 нуль n-го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для In(х) должна иметь место асимптотическая формула при больших значениях аргумента х.
Аналогично вводится I -n(х). Функции In и I -n при нецелом n линейно независимы, так как в точке х = 0 In(x) (n > 0) имеет нуль n-го порядка, а I -n(х) - полюс х-n. Если n = n - целое число, то I - n(x) = I n(x).
Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения и, в частности, функция I0(х) удовлетворяет уравнению
Наряду с функцией In(х) рассматривают функцию Kn(х), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента
Kn(х) является вещественной функцией х. В самом деле, формулы (12) и (13) дают
Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:
Формулы (23) и (18) показывают, что Kn(х) экспоненциально убывают, а In(х) экспоненциально возрастают при х ® ?. Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации y = AIN(х) BKN(х).
В частности, если у ограничено на бесконечности, то A = 0 и у = BKN(x); если же у ограничено при х = 0, то В = 0 и у = AIN(х). Из линейной независимости In и Kn следует, что Kn(х) имеет при х = 0 полюс n-го порядка (Kn~x-n) при n ? 0 и логарифмическую особенность при n = 0. В п. 4 показано, что K0(x) = ln … при x ® 0.
В отличие от Jn(x) и Nn(x) функции In(x) и Kn(x) являются монотонными (In(x) возрастает, а Kn(x) убывает с ростом x).
Наиболее важное значение имеет функция
K0(x) = .
Вывод
В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по бесселевым функциям. В первой главе дано описание бесселевых функций, их свойств и соотношений. Во второй главе рассмотрены различные виды цилиндрических функций и их свойства. В третьей главе было показано приложение функций Бесселя к основным уравнениям математической физики.
По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что функции Бесселя по праву занимают одно важнейших мест в теории специальных функций.
Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов физико-математических ВУЗОВ при ознакомлении с бесселевыми функциями и при изучении их применения к уравнениям математической физики.
Список литературы
Арфкен Г. Математические методы в физике. Перев. с англ. В.В. Чепкунова. - М.: Атомиздат, 1970.
Бейтмен Г., Эридейн А. Высшие трансцендентные функции. Перев. с англ. Н.Я. Виленкина. - М.: Изд. «Наука», 1974.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988.
Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979.
Джеффрис. Г., Свиряс. Б. Методы математической физики - Издательство «Мир», - М.: 1970.
Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. - М.: Наука, 1973.
Михлин С.Г. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1968.
Положий. Г.Н. Уравнения математической физики - М.: Издательство «Высшая школа», Прудников. А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции - М.: 1983.
Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. - М.: Мир, 1984, Т. 2.
Романовсаий. П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М.: Физматгиз, 1961.
Самойленко А.М., Кривошея С.А. Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989.
Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Под общей ред. Г.И. Кручковича. - М.: Высшая школа, 1970.
Смирнов. В.И. Курс высшей математики. - М.: Наука, 1974, т. 3, ч. 2.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
