Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Бесселевы функции первого рода и их практическое применение. Общее решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя полуцелого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя.
Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя. Функции Бесселя в математике - семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: х2 у"" ху" (х2 - ?2)у = 0 где ? - произвольное вещественное число, называемое порядком.Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам: , , , то уравнение (1) примет следующий вид: . Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида: , где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Записав это в виде: , найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид: (5```) или, после замены индекса суммирования на , , (7) откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя ( - не целое) (8) и дополняя это определение для (целое число) формулой: , (8`) получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где - целое).Хотя в общем случае функции Бесселя не выражаются через элементарные функции, в частном случае полуцелого порядка это возможно: , (10)Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя, которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой x на-ix. Это уравнение имеет вид: 2 2 v2) =0 (12) Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода: (13) где Iv(x) и Kv(x) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода. Дифференциальное уравнение Эйри, известное в астрономии и физике, записывается в виде: (14)дифференциальный уравнение лаплас бессель Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например: · электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются функции Бесселя и цилиндрические функции.
План
Оглавление
Введение
1. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
2. Бесселевы функции первого рода
3. Общее решение уравнения Бесселя
4. Функции Бесселя полуцелого порядка
5. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
6. Применения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шретера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кенигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.
Функции Бесселя в математике - семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: х2 у"" ху" (х2 - ?2)у = 0 где ? - произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя - функции целых порядков.
Хотя ? и (-?) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ?). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
1.
Вывод
Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются функции Бесселя и цилиндрические функции. Области приложения этих функций крайне разнообразны. Они обеспечивают очень быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть так или иначе сведены к уравнению Бесселя. Интерес математиков и инженеров к специальным функциям матфизики не угасает.
Список литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Москва 2002
2. Балакин А.Б. Лекции по теории функции Бесселя, Казань 2009.
3. http://www.math24.ru/bessel-equation.html
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Бесселя
5. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики т.1
