Функции Бесселя - Курсовая работа

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области. Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций. Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например: 1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр в уравнении (1) равен нулю или целому положительному числу. Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через и ввести сокращенную запись коэффициентов ряда (1.2), положив то в результате подстановки получим откуда следует так как выражение в фигурных скобках равно нулю. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию. Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Второе соотношение позволяет представить производные от функций Бесселя через функции Бесселя.Чтобы определить эти функции, рассмотрим ряд где - комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом и обозначается символом . Действительно, обозначая левую часть этого уравнения и полагая , мы находим, так же как в пункте 1, где - коэффициенты ряда (2.1), откуда следует, что Так как при фиксированном , принадлежащем плоскости с разрезом члены ряда (2.1) представляют собой целые функции переменного , то из равномерной сходимости по отношению к этому переменному вытекает, что функция Бесселя первого рода, рассматриваемая как функция своего значка, есть целая функция . При целом и ряд (2.1) переходит в ряд (1.2), поэтому функции, определенные в настоящем параграфе, являются обобщением функций Бесселя с целым положительным значком, изученных в пункте 2.С функциями Бесселя тесно связаны две часто встречающиеся в приложениях функции и , которые для , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси и произвольного , могут быть определены при помощи формул: (6.1) Повторяя рассуждения пункта 2, получаем, что и представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции . Рассматриваемые функции просто связаны с функциями Бесселя от аргумента . Для значений функции и могут быть выражены через функции Бесселя от аргумента . На основании полученных соотношений функции и называются функциями Бесселя мнимого аргумента.Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Возможность выразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком через элементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5) пользуясь которой можно последовательно получить: и т. д. Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4).Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях и фиксированном значении индекса [5]. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции. Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода. Чтобы получить асимптотическое представление функции , воспользуемся равенством Асимптотическое представление для функции получается аналогичным способом из формулыПри решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения. Функция не имеет комплексных нулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенных симметрично относительно точки , которая, в случае принадлежит к их числу. Функция - любое вещественное число) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечное число комплексных сопряженных нулей, где, в зависимости о

Содержание

Введение

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

2 Функции Бесселя с произвольным значком

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

5 Функции Бесселя третьего рода

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

9 Нули цилиндрических функций

10 Пример

Заключение

Список литературы

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

, (1) где - комплексное переменное, - параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например: 1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.

Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.

Задачи: 1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.

2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.

3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.