Функціональні моделі та метричні вузли для операторів, що близькі до нормальних - Автореферат

Харківський національний університет імені В. Н. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Золотарьов Володимир Олексійович, Харківський національний університет ім. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Гришин Анатолій Пилипович, Харківський національний університет ім. Каразіна, завідувач кафедри математичного аналізу; кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, Донецький національний університет, доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій. Захист відбудеться “27 ”серпня 2004 р. о 1700 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 Харківського національного університету імені В.Н. З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н.Серед близьких до нормальних операторів явним чином виділяється клас гіпонормальних операторів, тобто операторів з самокомутатором . Виділяють також клас майже нормальних операторів - операторів з ядерним самокомутатором , при цьому прийнято факторизувати у вигляді , де - відображення Гільберта-Шмідта, що діє з допоміжного гільбертового простору в , а - сигнатура самокомутатора, причому - гіпонормальний випадок. Деякі результати також були одержані Р.Кері і Д.Пінкусом для таких операторів , що - ядерний оператор. Крім цього, для операторів, що близькі до нормальних, не були введені відповідні метричні вузли, як для операторів, що близькі до самоспряжених (М.С.Лівшиць, А.А.Янцевич) та до унітарних (М.С.Бродський, В.О.Золотарьов), які слугують достатньо потужним інструментом при вивченні спектральних властивостей операторів. Метою даної роботи є створення єдиного підходу для вивчення операторів, що близькі до нормальних, що включає до себе введення метричних вузлів, їх визначальних та характеристичних функцій, побудову функціональних моделей операторів, зясування звязків цих моделей із визначальними та характеристичними функціями, символами, мозаїками та принципальними функціями Пінкуса, а також одержання нових властивостей даних функцій.У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять та наведено допоміжні результати.Теорема 3.4.1. а) Якщо , де , , то унітарно еквівалентний операторові , що діє у прямому інтегралі гільбертових просторівУ дисертації вивчаються лінійні обмежені оператори, що близькі до нормальних, за допомогою розкладань на дійсну та уявну частини, а також на модуль та часткову ізометрію. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, одержано належні задачі Рімана-Гільберта, а також введені характеристичні функції, мозаїки та принципальні функції Пінкуса. Через перетворення Келі одержано звязок полярного розкладання оператора з розкладанням оператора на дійсну та уявну частини. За допомогою розробленої теорії, а також теорії розвинень за узагальненими власними векторами, проведена явна діагоналізація самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора, та побудовано функціональні моделі деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. На основі цього вузла побудована унітарна дилатація еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, а також введені та вивчені відповідні хвильові оператори і оператор розсіяння.

2. Основний зміст роботи