Функтори Кокстера для зображень колчанів, алгебр і категорій у гільбертових просторах - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИНауковий консультант: доктор фіз.-мат. наук, професор РОЙТЕР Андрій Володимирович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу алгебри Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор ЯКОВЛЄВ Анатолій Володимирович, Санкт-Петербурзький державний університет, завідувач кафедри алгебри; доктор фіз.-мат. наук, професор ГУДИВОК Петро Михайлович, Ужгородський національний університет, завідувач кафедри алгебри; доктор фіз.-мат. наук ОСТРОВСЬКИЙ Василь Львович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.В XX стторіччі методи лінійної алгебри знайшли різноманітні застосування і розвивались в подальшому в тісному звязку з теорією кілець і модулів, теорією зображень груп і асоціативних алгебр, будучи тісно повязаними з теорією топологічних векторних просторів та іншими розділами функціонального аналізу. Для зображень груп над полем характеристики p Хігманом було доведено, що будь-яка група з нециклічною силовською р-підгрупою має нескінченно багато нерозкладних зображень, але до 60-х років минулого сторіччя для жодної такої групи класифікація зображень не була отримана. Проте незабаром зясувалось, що, як правило, задача повної класифікації зображень групи в некласичному випадку (модулярних зображень) містить в собі задачу про канонічну форму для пари лінійних операторів в скінченновимірному векторному просторі (з часом такі задачі були названі дикими, а решта - ручними). Кругляком було отримано результати про класифікацію зображень алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулеві (отримано критерій скінченності типу алгебри). Результати Кругляка С. А. про класифікацію зображень алгебр, квадрат радикала яких дорівнює нулеві, істотно використовують результати про зображення введених А. В.Конструюється зображення T групи (p,p), яке залежить від матриць X1,X2, ,Xn (T=T(X1,X2, ,Xn)), і ця конструкція має таку властивість: якщо пари матриць В цьому розумінні задача класифікації модулярних зображень групи (p,p) містить в собі як підзадачу задачу класифікації зображень будь-якої скінченної групи G. В підрозділі 3.1 вводяться основні поняття і означення, повязані з зображеннями *-колчанів, *-категорій, *-алгебр в категорії гільбертових просторів: еквівалентності й унітарної еквівалентності, нерозкладності, точності, дискретності зображень. В підрозділі 3.2 для *-категорій встановлюється шкала складності класифікації *-зображень, вводиться відношення ">" мажорування, яке формалізує ситуацію, коли задача класифікації *-зображень однієї категорії міститься як підзадача в задачі класифікації *-зображень іншої категорії. В підрозділі 3.3 наводиться алгоритм побудови похідного *-колчана: формалізується один зі способів класифікації зображень (для *-обєктів) в теорії матричних задач - привести одну з матриць зображення до "канонічного" вигляду, звузити групу перетворень до тих перетворень, які не псують отриманий канонічний вигляд приведеної матриці, і тим самим отримати нову (похідну) задачу.Нехай граф G є дерево і Mk - множина вершин, зєднаних з вершиною k ребром, () - множина вершин, зєднаних ребром . Зображення графа G в категорії H гільбертових просторів ставить у відповідність кожній вершині a Gv простір (a)=Ha H, кожному ребру Ge, у якого () = {a,b}, пару взаємно спряжених лінійних операторів () = {ab, ba}, де ab : Hb Ha. Зображення називається локально-скалярним, якщо всі оператори Ai скалярні, Ai= i IHI. Нехай Rep(G,H) - категорія зображень графа G в категорії гільбертових просторів, Rep G - категорія локально-скалярних зображень графа G. Будемо говорити, що G (локально-скалярно) скінченно зображуваний в категорії гільбертових просторів H, якщо всі його локально-скалярні зображення дискретні (розпадаються в пряму суму скінченновимірних зображень), розмірності його нерозкладних локально-скалярних зображень обмежені в сукупності, і в кожній розмірності число нерозкладних зображень з даним характером скінченне.Доведено, що задача класифікації зображень групи (p,p) над полем характеристики p містить в собі задачу класифікації n-ок матриць з точністю до подібності (n N). Для *-категорій введено відношення мажорування, яке встановлює шкалу складності задачі класифікації *-зображень. Конструкція використовується для класифікації *-зображень алгебри Скляніна та алгебри, породженої 4-ма лінійно повязаними ортопроекторами, для доведення дикості деяких *-алгебр і *-колчанів. Функтори використовуються для опису множини параметрів алгебри, що має *-зображення, для опису множини розмірностей нерозкладних зображень і для класифікації самих зображень.

Зміст роботи.