Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича - Автореферат

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукСеред основних причин такого стану речей можна виділити як методологічні (широко розповсюджену думку про те, що сингулярні міри цікаві виключно з теоретичної точки зору і дуже рідко зявляються "на практиці"), так і технічні (нерозробленість методів дослідження таких мір). Значне зростання активності в дослідженні СНІМ повязане з так званим “фрактальним бумом”, що розпочався в науці в 80-х роках XX століття та бурхливим розвитком теорії динамічних систем. Протягом останнього десятиліття проводяться досить інтенсивні дослідження із загальної теорії СНІМ та методів встановлення сингулярності, створення нових методів фрактального та мультифрактального аналізу та їх реалізація в певних класах СНІМ, класифікації сингулярних мір, згорток сингулярних мір та узагальнень нескінченних згорток Бернуллі. •на основі розроблених методів БРФА знайдено загальні необхідні умови і достатні умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича; в класах перетворень, які індуковані випадковими величинами з незалежними s-адичними цифрами, Q-символами знайдено критеріїї збереження розмірності; знайдено звязок між ентропією ймовірнісного розподілу, його розмірністю Хаусдорфа-Безиковича та належністю відповідної функції розподілу до DP-класу. Вони також можуть бути використані в дослідженнях з теорії функцій, теорії випадкових процесів, математичної фізики, теорії перколяції тощо, які ведуться сьогодні в наукових математичних центрах України та за її межами, зокрема, в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Національному університеті імені Тараса Шевченка, Національному педагогічному університеті імені М.Драгоманова, Національному технічному університеті України «КПІ», Боннському університеті, математичному інституті імені Ф.Хаусдорфа (Бонн, Німеччина), Інституті Макса Планка (MPIM, Бонн, Німеччина), університеті м.Зокрема, якщо та , то при виконанні умов теореми тоді і тільки тоді, коли Підрозділ 1.2 присвячений спектрально-фрактальному аналізу одновимірних та багатовимірних сингулярно неперервних ймовірнісних мір, їх класифікації та доведенню теорем про структурне представленн таких мір. Розмірність Хаусдорфа міри досить тонко характеризує глобальні властивості міри, але не відображає локальної поведінки міри в околі «легких точок» Отже, виникає необхідність введення в розгляд і вивчення властивостей локальної розмірності Хаусдорфа міри d в точці x. Міра d називається мірою зовнішньо точної розмірності , якщо для довільної точки виконується умова: Означення. Міра n називається мірою внутрішньо точної розмірності n, якщо для d-майже всіх x виконується умова 2) Якщо стохастичний вектор має скінченну ентропію, то міра є мірою точної розмірності Хаусдорфа і для довільної точки x спектра має місце рівність: Підрозділ 2.2 присвячений знаходженню умов сингулярності та дослідженню тонких фрактальних властивостей нескінченних згорток Бернуллі, тобто ймовірнісних мір , що відповідають випадковим величинам•запропоновано спектральну класифікацію одновимірних та багатовимірних СНІМ та доведено теореми про структурне представлення таких мір; •здійснено мультифрактальну класифікацію СНІМ та доведено теореми про канонічне представлення таких мір; •повністю розвязана задача про лебегівську структуру узагальнених нескінченних згорток Бернуллі першого роду ("без перекриттів"), показано, що в даному класі ймовірнісних мір сингулярність є домінуючою; проведено БРФА СНІМ з цього класу; •розвязана задача про лебегівську структуру узагальнених нескінченних згорток Бернуллі другого роду ("з перекриттями") з певних класів; досліджено метричні, топологічні та фрактальні властивості спектрів таких мір, досдіджено тонкі мультифрактальні властивості мір; •досліджено ергодичні властивості представлень дійсних чисел за допомогою рядів Остроградського першого виду; знайдено умови нульмірності (додатності міри) замкнених ніде не щільних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ