Формула Тейлора - Курсовая работа

Дана робота буде корисна тим, хто хоче вивчити теорію наближення функцій і обчислювати значення складних функцій. Мета: розглянути можливість обчислення границі функції однієї змінної за допомогою формули Тейлора. 3) Проілюструвати використання локальної формули Тейлора до обчислень границь функцій.. Застосування формули Тейлора для розвязування границі широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Брук Тейлор народився в селі Едмонтон в графстві Міддлсекс, у восьми милях від Лондона.Рядом Тейлора для функції f(x) при умові, що вона визначена в околі точки a, а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду Коефіцієнти цього ряду називають коефіцієнтами Тейлора.Існують різні форми запису залишкового члена Тейлорової формули. Нехай існує > 0 таке, що функція f (x) має в-околі точки х0 похідні до (n 1)-го порядку включно. Тоді для будь-якого знайдеться точка належить інтервалу з кінцями x і х0 така, що: , (1.5) де-залишковий член у Лагранжовій формі. (9.293) Розвинути в ряд Тейлора функцію f(x)=ln(x) за степенями (x-1). Розклад функції за степенями (x-1) слід розуміти, як розклад в точці x=1.Цей вираз називається формулою Тейлора з залишковим членом у формі Пеано (чи локальною формулою Тейлора) Нехай функції визначенні в околі точки та задовольняє наступним умовам: 1. Тоді застосовуючи до функцій и на відрізку теорему Коші та враховуючи, що за умовою, отримуємо Аналогічно, застосовуючи до функцій і на відрізку теорему Коші, знаходимо, З цих двох рівностей випливає, що , Застосовуючи теорему Коші послідовно до функцій на відповідних відрізках отримуємо Тепер, коли лема доведена, приступимо до доказу самої теореми: З існування випливає, що функція визначена і має похідні до порядку включно в околиці точкиПеретворимо цей многочлен в багаточлен ступеня n щодо різниці , де - будь-яке число, тобто представимо як: Для визначення коефіцієнтів диференціюємо n раз рівність (1): , , , .Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути звязане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів. Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 - 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4-10 члени розкладання в ряд.Встановимо умови, за яких сума ряду Тейлора функції в деякому околі точки х0 збігається з функцією , тобто коли символ в формулі можна замінити на (=). Теорема 2.1: Для того щоб ряд Тейлора збігався в інтервалі до функції , необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член її формули Тейлора прямував до нуля при для всіх x з цього інтервалу: . Для функції , що має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора З вигляду ряду Тейлора випливає, що його-a часткова сума збігається з многочленом Тейлора формули (2.7): (2.8) Залишок ряду Тейлора дорівнює залишковому члену формули Тейлора за умови ().Наведемо розвинення основних елементарних функцій в ряд Тейлора (Маклорена) за степенями : . , , Оскільки для довільного , то ряд Збігається для всіх 3. теоремою 2.2 функцію можна розвинути в ряд Маклорена (8.9) на всій дійсній осі. Застосовуючи формулу Маклорена для , дістанемо ряд Міркуючи аналогічно Маклорена для , дістанемо рядНаведемо деякі прийоми розвинення функцій в ряд Тейлора (Маклорена ). Безпосередньо розвинення в ряд Тейлора проводять за такою схемою: а) формально складають ряд Тейлора для функції , тобто обчислюють похідні всіх порядків в точці та підставляють в ряд; в) зясовують, для яких значень з області збіжності ряд Тейлора збігається до функції . Розвинемо функцію в ряд Маклорена: а) обчислюємо похідні в точці : ; Оскільки , то ряд збігається в) зясовуємо, для яких значень записаний ряд збігається до .Формула Тейлора дає просте і загальне правило для виділення головної частини функції. У результаті цього метод обчислення границь функцій за допомогою виділення головної частини функції набуває закінченого алгоритмічного характеру. В цьому випадку рекомендовано розкласти за формулою Тейлора функції та в околі точки (якщо, це можливо), обмежуючись в цьому розкладі лише першими, не рівними нулю, членами, тобто взяти розклад у вигляді Розрахуємо границю тобто розкриємо невизначеність вигляду Згідно загальному правилу, досліджуємо границю логарифма виразу, який стоїть під знаком границі: .

Зміст

Вступ

1. Загальні відомості

1.1 Обчислення меж за допомогою формули Тейлора

1.2 Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

1.3 Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано

1.4 Тейлорова формула для многочлена

2. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

2.5 Умови розвинення функції в ряд Тейлора

2.6 Розвинення основних елементарних функцій в ряд Маклорена

2.7 Методи розвинення функцій в ряд Тейлора

3. Застосування формули Тейлора для обчислення границь

Висновки

Список літератури