Возникновение теории вероятностей как науки. Аксиоматический подход и элементарные понятия теории множеств. Операции сложения и умножения событий. Решение типовой задачи на формулу Байеса. Формула полной вероятности в обеспечении качества продукции.
Аннотация к работе
Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Реферат по Теории вероятности и математической статистикеТеория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально ее основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы ученых в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества ? и является случайным событием, т. е. любое событие А - это подмножество множества ?: А??. В общем случае, если множество ? содержит n элементов, то в нем можно выделить 2^n подмножеств (событий).В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Сумма или объединение событий А1, А2, …, An - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, An. Сумма обозначается: где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий. Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение. Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АН1 H2 …AHN , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому Пусть есть некоторое событие А, которое может произойти в результате некоторого события В1,В2,…Bn и пока одно из этих событий не наступило его называют гипотезой. Так как событие А и гипотезы В1,В2,…Bn связаны, то найдем вероятность наступления события В1 при наступившем событии А. Т.е. чему будет равна такая вероятность РА(В1)-?Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй-84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. > это означает, что первый автомат произведет 2 детали, то второй сделает 1 деталь.Формула полной вероятности широко использовалась математиками при конкретных расчетах еще в начале 18 века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей Пьером-Симоном Лапласом лишь в конце того века. Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие» по известному факту события и вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.