Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса) - Контрольная работа

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Реферат по Теории вероятности и математической статистикеТеория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально ее основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы ученых в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества ? и является случайным событием, т. е. любое событие А - это подмножество множества ?: А??. В общем случае, если множество ? содержит n элементов, то в нем можно выделить 2^n подмножеств (событий).В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Сумма или объединение событий А1, А2, …, An - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, An. Сумма обозначается: где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий. Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение. Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АН1 H2 …AHN , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому Пусть есть некоторое событие А, которое может произойти в результате некоторого события В1,В2,…Bn и пока одно из этих событий не наступило его называют гипотезой. Так как событие А и гипотезы В1,В2,…Bn связаны, то найдем вероятность наступления события В1 при наступившем событии А. Т.е. чему будет равна такая вероятность РА(В1)-?Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй-84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. > это означает, что первый автомат произведет 2 детали, то второй сделает 1 деталь.Формула полной вероятности широко использовалась математиками при конкретных расчетах еще в начале 18 века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей Пьером-Симоном Лапласом лишь в конце того века. Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие» по известному факту события и вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление

1. Основы теории множеств

2. Алгебра событий

3. Формула полной вероятности

4. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

5. Решение типовой задачи на формулу Байеса

Заключение

Список используемых источников