Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса) - Курсовая работа

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность. Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра - наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта. Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину - наработку до отказа. Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками.Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Исход называется благоприятствующим появлению события , если появление этого события влечет за собой появление события .Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область (на прямой, плоскости или пространстве). Можно считать, что все точки «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы. Геометрическая вероятность события определяется отношением: где - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события . На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной, расстояние между осевыми линиями которых равно , наудачу брошен круг радиуса .Представим себе, что это испытание произведено раз и при этом событие наступило в случаях. Тогда отношение называется частотой события в данной серии испытаний. Вероятностью случайного события называется число , около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события при дополнительном условии, что произошло событие . Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события . Вероятность события , которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события . Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером. Т.к. события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы: Т.к. события несовместны, то и события тоже несовместны.Суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий или . Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: В случае, когда события и совместны, верть их суммы выражается формулой Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события. Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном появлении события и события . При производимых одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события появляется с вероятностью , вероятность появления события хотя бы один раз равнаФормула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они - предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную - с учетом факта произошедшего события - апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии). Важный вклад в теорию вероятностей внес Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XI

Общие понятия

Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов - показатели безотказности, к которым относятся: · вероятность безотказной работы;

· плотность распределения отказов;

· интенсивность отказов;

· средняя наработка до отказа.

Показатели надежности представляются в двух формах (определениях): - статистическая (выборочные оценки);

- вероятностная.

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра - наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.

Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину - наработку до отказа.

Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая - при экспериментальном исследовании надежности.

Для обозначения статистических оценок будем использовать знак сверху.

Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.

Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.

Введем следующие обозначения: - случайная величина наработки объекта до отказа;

- число объектов, работоспособных к моменту наработки t;

- число объектов, отказавших к моменту наработки t;

- число объектов, отказавших в интервале наработки ;

- длительность интервала наработки.

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально ее основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы ученых в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Основные понятия теории множеств .

Одним из основных понятий является - случайное событие.

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.

Множество - это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества и является случайным событием, т. е. любое событие - это подмножество множества

В общем случае, если множество содержит элементов, то в нем можно выделить подмножеств (событий).

Введем ряд определений

Совместные (несовместные) события - такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события - такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события - событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий - такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.