Формозберігаюче наближення сплайнами з фіксованими вузлами - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор ШЕВЧУК Ігор Олександрович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичного аналізу Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник КОНОВАЛОВ Віктор Миколайович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії наближення; кандидат фізико-математичних наук ДЗЮБЕНКО Герман Анатолійович, Міжнародний математичний центр НАН України, старший науковий співробітник відділу інформаційних технологій.Лоренц помітив, що аналог теореми Вейєрштраса про наближення многочленами має місце і для v-монотонного наближення. Інтенсивний розвиток конструктивної теорії формозберігаючого наближення почався в 60-і роки минулого сторіччя, одразу після завершення побудови Нікольським, Тіманом, Дзядиком, Фройдом та Брудним конструктивної теорії наближення функцій без обмежень, яка на цей час є класичною. Подальший вклад в розвиток теорії формозберігаючого наближення був внесений в роботах Бітсона, Ву, Гілевича, Дзюбенка, Ілієва, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Мхаскара, Петрова, Раймона, Роульє, Ху, Шадріна, Швєдова, Шевчука, Цу, Ю та інших. У результаті цих досліджень теорія рівномірного монотонного та опуклого наближення сплайнами та многочленами набула майже такої ж завершеності, як і конструктивна теорія наближень без обмежень. У дисертаційній роботі використовуються класичні методи теорії наближень, розвинені у роботах Джексона, Зігмунда, Нікольського, Стечкіна, Тімана, Дзядика, Фройда, Брудного, методи формозберігаючого наближення, розвинені у роботах Бітсона, Ву, Гілевича, ДЕВОРА, Дзюбенка, Коновалова, Копотуна, Левіатана, Лоренца, Ньюмена, Петрова, Ху, Швєдова, Шевчука, Целлера, Цу, Ю.Нехай і f(x):=F’(x), Для довільного цілого k?2, розбиття , і сплайну степеня ?k-1 з вузлами xi, i=1,…,n-1 такого, що s(xi)=f(xi), i=1,…,n-1, існує сплайн степеня ?k з вузлами xi, i=1,…,n-1, для якого Цей результат зводить 3-монотонне рівномірне наближення 3-монотонної функції сплайнами довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією у вузлах. Для кожної 3-монотонної на [a,b] функції F і кожного розбиття , існує квадратичний 3-монотонний сплайн S з вузлами x0,…,xn, що задовольняє де і c - абсолютна стала. Тоді для кожного сплайну степеня ?k-1 з вузлами xi, i=1,…,n-1, існує сплайн степеня ?k-1 з такими ж вузлами, такий що де c(m) - стала, яка залежить від масштабу розбиття. Теорема 2.3 показує, що будь-який опуклий сплайн (що наближує деяку опуклу функцію) можна модифікувати так, щоб новий сплайн залишався опуклим, інтерполював функцію в вузлах, і нова похибка наближення відрізнялась від старої сталим множником, що залежить лише від вузлів розбиття.В роботі проведено дослідження формозберігаючого наближення сплайнами. Побудовано 3-монотонні сплайни найкращого за порядком наближення 3-монотонних функцій із класичних функціональних класів. Доведено загальну теорему про зведення 3-монотонного рівномірного наближення 3-монотонної функції сплайном довільного степеня з довільними фіксованими вузлами до локального опуклого наближення її похідної сплайнами на тому ж розбитті в L1 нормі, з інтерполяцією в вузлах. Як наслідок, отримано нові оцінки типу Джексона для 3-монотонного наближення сплайнами з рівновіддаленими та чебишевськими вузлами. Доведено, що довільний 3-монотонний сплайн степеня не менше3, що наближує деяку 3-монотонну функцію, завжди можна модифікувати так, щоб отримати 3-монотонний двічі неперервно-диференційовний сплайн з тими ж вузлами і того ж степеня, який зберігає порядок наближення.

Основний зміст