Формирование понятия функции в курсе математики средней школы - Дипломная работа

Основная ее цель - выявить ключевые моменты в определении этого понятия, на которые необходимо обратить особое внимание школьников при изучении данной темы, для того, чтобы не допустить формального усвоения данного понятия. Петровского) преобладает традиционная методика в изложении понятия функции, которая приводит к тому, что в результате выпускник школы, давая стандартное определение функции, не может ответить на элементарные вопросы, относящиеся к этой теме. В частности, на вопрос: «Какая функция называется ?», правильный и полный ответ можно услышать очень редко. В § 1 дается анализ двух основных трактовок понятия функции, имеющихся в рекомендованной школьной литературе: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин». В третьем параграфе дается ответ на важный вопрос: «Что значит задать функцию?» Здесь речь в большей степени идет о множестве определения и множестве значений функций и важности понимания того, что говорить о функции, информация об области, определения которой отсутствует, не корректно.Функция - одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определенных идей развития школьного курса математики. В существующих программах по математике как для школ (классов) с углубленным изучение математики, так и для базовых школ тема «Функции» занимает большой объем, к тому же очень много вопросов, касающихся функций, содержит программа по математике для поступающих в ВУЗЫ, поэтому особенно важен вопрос о трактовке этого фундаментального понятия математики. В математике известны два основных направления: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин». Примером классического направления трактовки функции может служить определение функции: «зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функциональной зависимостью, или функцией. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от такого аргумента.Задать функцию - это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению аргумента находятся соответствующие ему значения функции. Из всех основных способов задания функции, таких, как аналитический, табличный, графический, алгоритмический или программный, особый интерес и значимость имеет задание функции при помощи некоторой формулы, некоторого аналитического выражения, позволяющего для любого значения аргумента из области определения Х, находить соответствующее значение функции путем вычислений. Функция и формула - это разные «вещи» Одно дело-функция как отображение одного множества (в данном случае числового множества) на другое, другое дело - формула, представляющая собой лишь один из способов задания функции. Чем же опасно отождествление функции с формулой, которая описывает функцию? Функция у = имеет область определения [2; ), а функция у = - область определения ]-; 1].Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями. Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f. Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции у=1 sin x; у = 2 ; у = . 3) Область определения функции у = находится из условия или (x - 1)(x 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] - симметричное относительно нуля множество. 4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках-3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-;-3) (-3; 3) (3; ) - симметричное относительно н

Функция - одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определяющих идей развития школьного курса математики.

Данная дипломная работа посвящена анализу изучения понятия функции в школьном курсе математики. Основная ее цель - выявить ключевые моменты в определении этого понятия, на которые необходимо обратить особое внимание школьников при изучении данной темы, для того, чтобы не допустить формального усвоения данного понятия. В существующей школьной литературе (исключение составляет учебник «Алгебра» 8-11 класс К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского) преобладает традиционная методика в изложении понятия функции, которая приводит к тому, что в результате выпускник школы, давая стандартное определение функции, не может ответить на элементарные вопросы, относящиеся к этой теме. В частности, на вопрос: «Какая функция называется ?», правильный и полный ответ можно услышать очень редко.

Работа состоит из 5 параграфов, введения и заключения.

В § 1 дается анализ двух основных трактовок понятия функции, имеющихся в рекомендованной школьной литературе: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

В § 2 рассматриваются вопросы, связанные со способами задания функции. Ключевым моментом этого параграфа является анализ аналитического способа задания функций, т.е. с помощью формулы. Важным в этом параграфа является исследование соотношения понятий «функция» и «формула».

В третьем параграфе дается ответ на важный вопрос: «Что значит задать функцию?» Здесь речь в большей степени идет о множестве определения и множестве значений функций и важности понимания того, что говорить о функции, информация об области, определения которой отсутствует, не корректно. Следует отметить, что непонимание этого факта часто присутствует в ответах даже подготовленных школьников.

В § 4 рассматриваются важные классы функций: четные, нечетные, периодические. Здесь определения данных классов подкреплены типичными примерами, в которых школьники, как правило, делают ошибки. Основное внимание уделено на то, что при определении таких функций кроме закона соответствия важно следить и за их областью определения.

В § 5 подготовлен комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные, нечетные функции. Периодические функции». При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты: 1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;

2) в заданиях сделан акцент и на проверку навыков, и на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;

3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.

4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.

Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.

В процессе работы над дипломной работой была проанализирована основная литература по данной теме, список которой приводится в конце. Отметим, что среди этой литературы, на мой взгляд, учебник «Алгебра» 8-11 класс К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского в наибольшей степени соответствует современным требованиям в подходе к освещению затронутых в нашей работе вопросов.

В заключении отметим, что в данной работе сделана попытка, опираясь на основные школьные учебники, собрать материал по данной теме, систематизировать его для того, чтобы выделить важные моменты при формировании понятия функции и препятствовать формальному усвоению понятий, сопутствующих определению функции. Большую роль в достижении этой цели играют разработанные тестовые задания, разбор типичных примеров, в которых учащиеся зачастую дают неправильные ответы.

Данная работа охватывает весь материал, связанный с понятием функции в школьном курсе и может быть использована при работе на уроках в обычных, профильных классах и на факультативных занятиях по математике.