Особенности линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на плоскости. Определение точки равновесия (нулевого решения) однородной системы линейных уравнений. Расчет поведения фазовых кривых линейной автономной системы на плоскости.
При низкой оригинальности работы "Фазовые кривые однородной системы линейных дифференциальных уравнений", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Очень многие природные процессы удается научно исследовать, моделируя их с помощью дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Несмотря на их простоту, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют достаточно богатую теорию (особенно в случае систем) и являются важным прикладным инструментом. Цель курсовой работы рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на плоскости.Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в общем случае имеет вид Если обозначить вектор неизвестных функций через , а матрица коэффициентов через , то систему можно переписать в векторно-матричном виде Если в этой записи понимать как обычную функцию, а не вектор, а - как число, то, как известно, общее решение такого уравнения имеет вид: где - произвольная константа. Подробно расписывая левую часть характеристического уравнения, мы видим, что она представляет собой многочлен второй степени относительно : В зависимости от значений коэффициентов этот многочлен может иметь два различных вещественных корня, один двукратный вещественный корень (в том случае, если выражение является полным квадратом), или же, наконец, два комплексно сопряженных корня. Поведение решений системы (каждому решению геометрически соответствует кривая на плоскости, которая называется фазовой кривой) зависит именно от корней характеристического уравнения, причем не только от того, вещественные они или комплексные, различные или совпадающие, но и от знака каждого вещественного корня, а в случае комплексных корней - от знака вещественной и мнимой части.В этом разделе работы мы исследуем фазовые кривые системы уравнений: Эта система является линейной, автономной и однородной системой уравнений первого порядка. Перепишем систему в виде: Выпишем матрицу коэффициентов системы, обозначим ее : Составим характеристическое уравнение и решим его: Корнями этого уравнения являются числа и . Заметим, что, поскольку имеется нулевое собственное значение, система является сложной: у нее есть положения равновесия, отличные от точки . Перепишем это уравнение в координатах, то есть запишем его как систему уравнений относительно и : Второе уравнение можно поделить на (эта операция не меняет множества решений), и тогда мы получим систему, в которой два одинаковых уравнения: Понятно, что общее решение этой системы определяется равенством , так что в качестве собственного вектора годится любой ненулевой вектор, у которого первая координата совпадает со второй.
План
Оглавление
Введение
1. Необходимые теоретические сведения
2. Решение системы дифференциальных уравнений, исследование фазовых кривых
Список использованной литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
