Побудування розв’язки задач Коші для нестаціонарних параболічних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами в банаховому просторі функцій, заданих на нескінченновимірному сепарабельному гільбертовому просторі. Докази теорем та зауваження.
Аннотация к работе
Роботу, що пропонується, присвячено дослідженню нестаціонарних параболічних диференціальних рівнянь другого порядку для функцій, визначених на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Диференціальний оператор (1) є узагальненням добре відомого оператора Лапласа-Леві, який був запропонований Полем Леві у 1922 році. Якщо в формулі (1) в якості функціонала взяти функціонал , диференціальний вираз, отриманий за цією формулою, буде в точності співпадати з диференціальним виразом Лапласа-Леві. Феллер дослідив різноманітні рівняння з оператором Лапласа-Леві: зокрема, він довів єдиність розвязку відповідної задачі Діріхле, побудував в певних функціональних просторах диференціальні оператори будь-якого парного порядку, що породжені диференціальним виразом Лапласа-Леві. Оператор Лапласа-Леві та рівняння з цим оператором вивчалися в роботах А.С.Тоді задача Коші для рівняння (3) з початковою умовою (5) має і причому один розвязок на відрізку в класі функцій . , (6) де - векторне поле певного класу на просторі , а оператори мають той самий сенс, що і в рівнянні (3). Будемо казати, що векторне поле Z на просторі Н належить класу A0, якщо параболічний рівняння банаховий В пункті 1.2.6 отримано розвязок задачі Коші для рівняння (6), за умови, що векторне поле належить класу Під задачею Коші в трикутнику для рівняння (7) розуміємо задачу про знаходження при кожному фіксованому розвязку цього рівняння на відрізку , що задовольняє початкову умову в точці sВ роботі отримано наступні основні результати: Побудовано розвязок задачі Коші для рівняння , де - суттєво нескінченновимірні оператори; доведено рівномірну коректність задачі Коші для цього рівняння. Побудовано розвязок задачі Коші для рівняння , де - векторне поле на гільбертовому просторі, а - дійснозначна функція; встановлено деякі важливі властивості одержаного розвязку.
План
Основний зміст
Вывод
Дисертаційну роботу присвячено вивченню еволюційних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами. В роботі отримано наступні основні результати: Побудовано розвязок задачі Коші для рівняння
, де - суттєво нескінченновимірні оператори; доведено рівномірну коректність задачі Коші для цього рівняння.
Побудовано розвязок задачі Коші для рівняння
, де - векторне поле на гільбертовому просторі, а - дійснозначна функція; встановлено деякі важливі властивості одержаного розвязку.
Побудовано розвязок задачі Коші для рівняння
, де - нестаціонарне векторне поле на гільбертовому просторі; встановлено деякі важливі властивості одержаного розвязку.
Одержано розвязок задачі Коші для еволюційного рівняння на поверхні
, де - суттєво нескінченновимірні оператори на многовиді скінченної корозмірності ; встановлено деякі важливі властивості побудованого розвязку.
Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації
Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с нерегулярным эллиптическим оператором, зависящим от времени // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. - 2003. - Т. 16, № 1. - С. 153-157.
Мальцев А.Ю. Еволюційні суттєво нескінченновимірні рівняння // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 2. - С. 214-220.
Мальцев А.Ю. Еволюційні сімї нестаціонарних суттєво нескінченновимірних рівнянь. Рівномірна коректність однієї задачі Коші із суттєво нескінченновимірним оператором // Наукові вісті НТУУ "КПІ". - 2004. - № 4. - С. 152-157.
Мальцев А.Ю. Властивості розвязків задачі Коші для еволюційних суттєво нескінченновимірних рівнянь // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 5. - С. 656-662.
Мальцев А.Ю. Задача Коші для рівняння із суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором, збуреним векторним полем, що залежить від часу // Доповіді НАН України. - 2004. - № 11. - С. 31-37.