Розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, що є узагальненими. Вивчення властивостей перетворення Бесселя функції та оператора узагальненого зсуву аргументу.
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ УДК 517.956 ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ 01.01.02 - диференціальні рівняння АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Чернівці - 2008 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальнiсть теми. Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розвязнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах. У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розвязкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розвязкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(\sigma)$), то задача Кошi коректно розвязна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розвязок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн. До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{
u}=\frac{d^2}{dx^2} \frac{2
u 1}{x}\frac{d}{dx}$, $
u>-\frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{
u}\varphi=-F_{B_{
u}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{
u}}[\varphi]]$, де $F_{B_{
u}}$, $F_{ B_{
u}}^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t} Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T),\ x\in \mathbb{R}_ , \eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(\sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Якщо позначити цей простiр через $\stackrel{o}{\Phi}$, то $$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in \mathbb{Z}_ \, \exists c_{\alpha}>0\,:\, |D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1 |x|)^{-(\alpha \gamma_0)}, \, x\in \mathbb{R}
ight\}, $$ де $\gamma_0>0$\,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $\stackrel{o}{\Phi}$ є парною. Дисертацiйна робота присвячена розвязанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$). Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертації вперше одержано такi результати: доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}{\Phi}$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$ при перетвореннi Бесселя; доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$ (тобто граничнi спiввiдношення вигляду $(T_x^{\xi \Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac {\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$, $\Delta\xi\to 0$, справджуються у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$; $\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$, $T_x^{\xi}$\,-- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдає оператору Бесселя); знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; дослiдженi властивості перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй; досліджені властивостi фундаментального розвязку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра iз значеннями у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to 0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; встановлено коректну розвязнiсть задачi Кошi у певному пiдпросторi узагальнених функцiй простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, який збігається з множиною початкових значень гладких розвязкiв вказаних рiвнянь; при цьому розвязок має вигляд $u(t,x)=(f*G)(t,x)$, $f\in (\stackrel{o}{\Phi}) ^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T)$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$, але граничне
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
