Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши. Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием преобразования Лапласа. Численный метод решения системы c помощью Mathcad.
При низкой оригинальности работы "ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Электротехническая система описывается заданной системой линейных дифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t): Матрицы системы:Можно записать в виде матричного дифференциального уравнения: или на основании правила дифференцирования матриц: Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме здесь - общее решение однородной системы дифференциальных уравнений Для определения общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо: найти собственные значения ?i матрицы А, используя выражение: найти переходную матрицу: где Р - матрица, составленная из собственных векторов vi матрицы А, которые определяются из выражения: Avi = ?i vi i = 1,2..n - одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1 = 1)Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы (при вычислении интеграла). Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа: Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хі(t).Вычисление собственных значений квадратной матрицы А: Функция identity (4) создает единичную матрицу размером 4*4 С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для вычисления собственных значений матрицы А можно применить и функцию eigenvals, ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой. Характеристическому числу ?1 соответствует собственный вектор р11; р21; р31; р41; числу ?2 соответствует собственный вектор р12; р22; р32; р42, числу ?3 соответствует собственный вектор р13; р23; р33; р43 числу ?4 соответствует собственный вектор р14; р24; р34; р44. Преобразующую матрицу Р определяем по матрице А, используя дополнительную функцию eigenvecs(A) - вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2-3) задачу Коши различными численными методами. o t0 - начальная точка расчета, o t1 - конечная точка расчета, o M - число шагов, на которых численный метод находит решение; Таким образом, воспользуемся функцией Rkadapt (y0, t0, t1, M, D)-получим матрицу решения системы дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции Rkadapt выглядит так: Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий X0 и правую часть дифференциального уравнения y(t): Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений: Применим функцию:-Интервал времени.Заданную систему уравнений преобразуем по Лапласу и найдем переходную матрицу и изображение по Лапласу переменной состояния системы: На основании переходной матрицы определим изображение и оригинал переменных состояния систем: Графики изменения переменных состояния во временной области при отсутствии внешних возмущений и заданных начальных условиях, полученные с помощью преобразования Лапласа представлены на рисунке 7.1.Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и присутствии внешнего воздействия, полученные с помощью MATHCAD.Преобразуем по Лапласу заданную систему уравнений и найдем переходную матрицу и изображение переменной состояния системы. Переходная матрица и изображение переменных состояния системы: На основание матрицы определим изображение и оригинал переменных состояния системы: Аналогично вычисляем остальные значения x(t)В качестве примера рассмотрим случай, если на систему действует воздействие одного вида, например y=cos(2t) .Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и воздействии y=cos(2t)Применив обратное преобразование Лапласа (invlaplace) получим значения x(t), графическое изображение которых на рисунке 3.3.Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и воздействии, полученных с помощью функции MATHCAD.Аналогично получаем значения Х2общ, Х3общ, Х4общ и строим график изменения переменных системы при заданном внешнем воздействии и начальных условиях, полученный с помощью преобразования Лапласа. Применив обратное преобразование Лапласа, получим изменение
План
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием переходной матрицы.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
3. Выводы по работе №4.
1. Данные варианта задания
Система линейных дифференциальных уравнений в форме Коши
Таблица № 1
№ вар Ко э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й Начальные условия
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
