Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
В математике эллиптические функции Якоби являются набором основных эллиптических функций , и вспомогательными тета-функциями , которые обладают исторической важностью, а также имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника ). Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса , однако они не выводятся из моды.Обратная к u(?) функция (то есть зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (1)) называется амплитудой, и для нее принято следующее обозначение: ?(u)=am(u;k) или ?=am(u). Функция ?=am(u), являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла первого рода (1), определена для любого значения u, непрерывна и имеет конечную производную Покажем далее, что эллиптические функции Якоби (4) вещественного аргумента u являются периодическими, причем snu и cnu имеют вещественный период 4K, а функция dnu обладает действительным периодом 2K, где K-полный эллиптический интеграл первого рода вида: (1.1) Нули функции snu, согласно (4), определяются из условия ?= am(u) = ?n, n = 0,±1, ..., так что, как следует из (1), (7) и (8), функция Якоби snu от вещественной переменной u обращается в нуль при u = 2NK, n = 0,±1, ... Из вида правой части выражения (12) и следует, что нули функции от комплексной переменной z совпадают с нулями функции , которые, имеют простые (не кратные) нули видаТак как при вещественных значениях аргументов функции Якоби snu, cnu, dnu удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье. Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (-l,l), если она или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода (когда пределы “слева и справа” от точки разрыва являются конечными величинами), и если, кроме того, интервал (-l,l) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых f(x) меняется монотонно. Поэтому функция snu, имеющая, как было установлено в разделе 1, вещественный период, равный K(k), будет являться по переменной x периодической функций с периодом 2?. В случае комплексного аргумента, учитывая, что второй (чисто мнимый) период функции snz равен =i2K(k?), устанавливаем, что функция периодична с периодами и где Поскольку snu является нечетной функций, то ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид sn (2.1)(3.2) где, так что (3.3) после перехода в выражении для функции Якоби snz от аргумента z к новому аргументу и перемножения одноименных частей равенств (3.1) и (3.2) получим следующее соотношение, связывающее ?-функцию Вейерштрасса с функцией Якоби snu: ?(z)= (3.4) Последние три равенства (3.4) и (3.5), если исключить из них ?(z) так же, как и в случае вещественных значений аргументов, позволяют для функций Якоби обнаружить справедливость двух соотношений вида (5) sn z cn z=1, dn z k sn z=1, (3.6) в которых, с учетом того, что для функций Якоби уже выполняется условие (13), В то же время, используя представления ?-функций через сигма-функции Вейерштрасса, из (3.4) и (3.5) непосредственно находим sn(u;k)=-cn(u;k)= (3.7) Учитывая теперь ранее найденные соотношения между функциями Якоби и функциями Вейерштрасса, получим дифференциальные уравнения для функций Якоби. В самом деле, пусть комплексная величина ? определяется уравнением snz = sin?, тогда, согласно дифференциальному уравнению для функции snz, имеем или, с учетом (3.6), а также (24), (3.13) Действительно, из (3.11) следует, что производная любого порядка от функций Якоби может быть выражена в виде полинома от всех трех функций Якоби.При интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргумента-функции Вейерштрасса по величине этой функции. Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения Из свойств ?-функции следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ?-функции: (5.2) В этом случае, согласно (3.4), для ?-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление: (5.4) в котором а аргументы s и ? связаны с переменными (5.3) v,u соотношениями Решение z =u iv , определяемое (5.11), является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (5.1) в основном параллелограмме периодов ?-функции Вейерштрасса.Основным результатом данной курсовой работы является введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье. Представляется перспективным тщательное численное изучение введенных здесь функций. Элементы теории эллиптических функций., М., Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. Функции Лежандра: Пер. с англ. Теория функций / Пер. с нем.(Рис.
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Основная часть
1. Определение функций Якоби
2. Разложение в ряды Фурье
3. Связь с функциями Вейерштрасса
4. Теоремы (формулы) разложения
5. Обращение функции Вейерштрасса
Заключение
Список используемой литературы
Приложение
Вывод
Основным результатом данной курсовой работы является введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье. Так была же их связь с -функцией Вейерштрасса.
Представляется перспективным тщательное численное изучение введенных здесь функций.
БИБЛИОГРАФИЧКСКИЙ СПИСОК
1. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций., М., Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. _ 292 с.
2. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра: Пер. с англ. Н.Я. Виленкина., М.:Наука, 1965. - 286 с.
3. Гурвиц А., Курант З. Теория функций / Пер. с нем. М.А.Евграфова., М.: Наука, 1968. _ 648 с.
4. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана / Пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной., М.: Наука, 1979. _ 832 с.