Элементы высшей математики - Учебное пособие

В первой изучаются методы решения систем линейных уравнений с помощью матриц, определителей, во второй главе рассматривается понятие производной функции, приложения производной к исследованию функций и построению графиков функций, в третьей главе представлены методы вычисления неопределенных и определенных интегралов, задачи на вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Так как пособие рассчитано на студентов - заочников, у которых имеется большой перерыв в учебе и утеряны основные навыки, то весь теоретический материал излагается ясным, доступным языком.Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение: Для любого элемента первый индекс означает номер строки, а второй индекс номер столбца. Например, 2. квадратная матрица, если число строк матрицы равно числу столбцов (). Например, 6. если в матрице переставить строки со столбцами, то получим транспонированную матрицуСуммой матриц А и В будем называть такую матриц, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые строение: или прямоугольные типа m?n, или квадратные n?n. Решение: Разность матриц выполняется аналогично, т.е. в результате вычитания двух матриц получается матрица элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц. Решение: Произведение матрицы А на число k называется такая матрица, каждый элемент которой равен k•aij. Определение: Произведением матрицы на матрицу называется матрица: Итак, чтобы найти первый элемент новой матрицы с11, который расположен в первой строке и первом столбце, надо каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b11 и b21) и полученные произведения сложить: .Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число . Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число Это правило можно проиллюстрировать на схеме: Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11•а22•а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а12•а23•а31 и а21•а32•а13). Минором Mij элемента aij определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием i-строки и j-столбца. Например, минор М12, соответствующий элементу а12 определителя получается, если вычеркнуть из определителя первую строку и второй столбец, т.е.Пусть дана система уравнений Если обозначить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных свободные члены и неизвестные записать в виде матриц-столбцов и тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так: ИЛИА•Х = В Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А невырожденная (), тогда существует обратная матрица А-1. Т.к. систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными: Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, из свободных членов - матрицу В, т.е. Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при х1, х2,…xn на столбец свободных членов, то получим n определителей (для n неизвестных) Тогда система имеет бесчисленное множество решений.Он состоит в следующем: 1. систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. 2. из полученной треугольной системы переменных находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход) При выполнении прямого хода используют следующие преобразования: 1) умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число, 2) сложение и вычитание уравнений, 3) перестановку уравнений системы, 4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. Используя метод Гаусса, решить систему уравнений: Решение. В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Это равенство называют законом движения точки. Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени ( - приращение времени) точка

Оглавление

Введение

1. Элементы линейной алгебры

1.1 Матрицы, виды матриц

1.2 Операции над матрицами

1.2 Определители матрицы. Свойства определителей, их вычисление

1.3 Обратная матрица, вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1.4 Решение систем линейных уравнений в матричной форме

1.5 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

1.6 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

2. Элементы дифференциального исчисления

2.1 Понятие производной функции

2.2 Производная суммы, разности, произведения и частного функций

2.3 Производные элементарных функций

2.4 Производная сложной функции

2.5 Производные высших порядков

2.6 Приложение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции

Максимум и минимум функций

Выпуклость и вогнутость графика функций

Полное исследование функций и построение графиков функций

3. Элементы интегрального исчисления

3.1 Понятия неопределенного интеграла, его свойства

3.2 Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования по частям

3.3 Понятие определенного интеграла

3.4 Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

3.5 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Литература

Настоящее пособие предназначено студентам заочного отделения техникумов.

Пособие состоит из трех глав. В первой изучаются методы решения систем линейных уравнений с помощью матриц, определителей, во второй главе рассматривается понятие производной функции, приложения производной к исследованию функций и построению графиков функций, в третьей главе представлены методы вычисления неопределенных и определенных интегралов, задачи на вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Так как пособие рассчитано на студентов - заочников, у которых имеется большой перерыв в учебе и утеряны основные навыки, то весь теоретический материал излагается ясным, доступным языком. Содержит большое количество разнообразных примеров и задач, расположенных по возрастающей степени трудности.

По материалу пособия составлены задачи и упражнения, эти задания могут быть использованы в качестве вариантов контрольной работы, позволяющие проверить усвоение знаний студентами. Для более глубокого изучения можно использовать пособия из списка литературы.