Элементы векторного анализа - Курсовая работа

Следовательно, вектор - абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Сам термин «вектор» (от лат. vector - несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г.Разобьем кривую L последовательными точками Обозначим Dli длину дуги di , а Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L: Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом I рода от функции f (x; y) по кривой L и обозначается Основные свойства криволинейного интеграла I рода: т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.На каждой элементарной дуге di возьмем точку (; ) и составим сумму вида: где проекция дуги di на ось Ox (рис.2). Если при ?= интегральная сумма (2.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек (; ), то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x; y) по кривой L: Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x; y) по координате y: где проекция дуги на ось Oy. Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством: Основные свойства криволинейного интеграла II рода 1? При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный: 2? Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям: 3? Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy: 4? Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).Пусть S - поверхность в трехмерном пространстве Oxyz, а f(x; y; z) - непрерывная функция, определенная в точках этой поверхности. Если существует конечный предел не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ?SI и от выбора точек Mi ?SI (i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции поверхности S и обозначается Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x; y; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует (теорема существования).v Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x; y): v Масса поверхности S: где - плотность распределения массы. v Моменты, центр тяжести поверхности: Глава II.Теория поля - крупный раздел, физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено, задано скалярное поле (или функция точки). Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки). Если функция U(M) () не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени называется нестационарным.Пусть задано скалярное стационарное поле U = f(M) = f(x; y; z) , где функцию f(x; y; z) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой в рассматриваемой области. Это геометрическое место точек называют поверхностью уровня скалярного поля U. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек. M0(x0; y0; z0) называется предел, если он существует, отношения приращения ?U0 функции при смещении из точки M0(x0; y0; z0) в направлении вектора в точку M1(x; y; z) к величине этого смещения , когда ? > 0, то есть Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M.Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке. Пусть задано векторное поле тогда вектор коллинеарен вектору поля т. е. Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений: Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен где - единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина Пусть и , тогда пот

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. Криволинейный интеграл I рода

§2. Криволинейный интеграл II рода

§3. Поверхностный интеграл I рода

§4. Поверхностный интеграл II рода

§5. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса

Глава II. Теория поля

§1. Основные понятия теории поля

§2. Скалярное поле

Производная скалярного поля по направлению

Градиент скалярного поля

§3. Векторное поле и его циркуляция

Поток векторного поля

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

§4. Специальные векторные поля

§5. Оператор Лапласа. Гармонические функции

Глава III. Практическая часть.

Заключение

Список литературы