Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
При низкой оригинальности работы "Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
С проникновением в математику идеи движения и переменных величин, с развитием понятий производной и первообразной данной функции появился новый вид уравнений, решение которых дает возможность находить не просто значение тех или других постоянных величин, а разные виды функциональных зависимостей, законы тех или иных видов движений и других явлений. Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Поскольку в это уравнение входит независимая переменная, функция и ее первая производная, то это дифференциальное уравнение первого порядка. Но из интегрального исчисления известно, что если производные или дифференциалы двух функций равны между собой, то сами функции отличаются друг от друга разве лишь постоянным слагаемым, т.е. Таким образом установлено, что в условиях нашей задачи постоянная С имеет вполне определенное числовое значение, и, подставляя это значение в формулу (3), получаем уже только одно выражение для температуры как функции времени, т.е. получаем один ответ на поставленный в задаче вопрос: .Определение: Семейство решений уравнения (2), зависящее от одной произвольной постоянной С: y = j (x, C), (3) называют общим решением этого уравнения (или Ф(x,y,C)=0 (3’) - общим интегралом). , задача Коши ставится следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение y = y(x), в котором функция y(x) принимает заданное числовое значение y0 при заданном числовом значении х0 независимой переменной х, то есть y(x0) = y0, (4) где х0 и y0 заданные числа, так что решение (4) удовлетворяет условиям y = y0 при x = x0. Говорят, что задача Коши с начальными условиями (5) имеет единственное решение, если существует такое число h > 0, что в интервале Іх - x0I?h определено решение y = y (x) такое, что y (x0) = y0 и не существует решения, определенного в этом же интервале и не совпадающего с решением y = y (x) хотя бы в одной точке интервала Іх - x0I ? h, отличной от точки x = x0. В противном случае, то есть когда задача Коши с начальными условиями (5) имеет не одно решение или же совсем не имеет решений, говорят, что в точке (x0, y0) нарушается единственность решения задачи Коши. Вопрос о единственности решения задачи Коши представляет исключительный интерес, как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений, ибо, зная, что решение задачи Коши единственно, мы, найдя решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, уверены, что других решений, удовлетворяющих тем же начальным условиям, нет.
2. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 256 c.
3. Будаев, В.Д. Математический анализ. Функции одной переменной: Учебник / В.Д. Будаев, М.Я. Якубсон. - СПБ.: Лань, 2012. - 544 c.
4. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 336 c.
5. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПБ.: Лань, 2013. - 308 c.
6. Лейнартас, Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М. Кытманов. - М.: Юрайт, 2012. - 607 c.
7. Лоссиевская, Т.В. Математический анализ: несобственные интегралы: Учебное пособие / Т.В. Лоссиевская. - М.: МИСИС, 2012. - 61 c.
8. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике. Т. 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента: Часть 2: Дифференциальное исчисление векторного аргумента / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. - М.: ЛКИ, 2013. - 224 c.
9. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике.Т. 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. Часть 1. Радя: Учебное пособие / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. - М.: ЛКИ, 2012. - 224 c.
10. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. - 208 c.
11. Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. - М.: Флинта, Наука, 2012. - 168 c.
12. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 c.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
