Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы - Реферат

Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания.Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и ее применение". Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла - основа метода математического анализа. Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм. 2) ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования; 3) выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции "; Дифференцирование функции приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная некоторой функции равна , т.е.: ; требуется найти функцию . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной.Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. "Пусть f(x) - функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x ?x и точку с, лежащую между ними. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ?x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ?x и высотой f(c), где с - некоторая точка отрезка [x; x ?x]. Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ?x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ?x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке функция. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом: Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Таким образом, по определению: , где f(x) - непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b], Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до со скоростью , где - непрерывная на отрезке функция, . доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования: , где f(x) - функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции: провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объема тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления.

Содержание

Введение

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики

2. Методическая схема изучения первообразной функции

3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции

4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе

Заключение

Литература

Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объема фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.

В качестве основных задач, решенных в процессе изучения темы, можно выделить следующие: · введение понятий первообразной и интеграла;

· ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;

· раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции: провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объема тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Універсітэцкае",1997г.

2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.

3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.

4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.

5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.

6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.