Елементи сферичної геометрії - Курсовая работа

Безліч вчених геометрів цікавилися такою фігурою як кулею та її «оболонкою», яка називається сфера. Використання знання кулі і сфері призвело до виникнення нового розділу математики - сферичної геометрії, у якій вивчаються фігури, розташовані на сфері. Площина, що проходить через центр сфери, називається діаметральною площиною, а лінія її перетину зі сферою - великим колом. Взагалі два будь-які кола, що лежать на одній і тій самій сфері, можуть перетинатись не більш як у двох точках, де лінія перетину їх площин перетинає сферу. Коли Феодосій говорить про перетин кіл на сфері під деяким кутом або про паралельність цих кіл, він має на увазі перетин під даним кутом або паралельність їх площин; коли він говорить про розтин колами на сфері один одного навпіл, він має на увазі розсічення навпіл плоских фігур.Сферою називається геометричне місце точок простору, розташованих на даному відстані від даної точки, яку називають її центром. У цьому випадку коло на сфері і називається великий колом. Далі, оскільки дві перехресний площині ділять простір на чотири області, то дві великі кола ділять сферу на чотири області. Нарешті, так як три площини, що перетинаються в одній точці, ділять простір на вісім областей, то три великі кола, які не перетинаються в одній точці, ділять сфери на вісім областей На пряму на площині не потрібно накладати ніяких обмежень, а на велике коло, на точки А і В сфери ми наклали умову, щоб вони не були кінцями одного й того самого діаметра, бо тоді можна провести вже не одне велике коло, а безліч.Кутом на сфері називається фігура, утворена деякою точкою (наприклад, P) і двома півколами (наприклад, PAP1 і PBP1), спільним кінцем яких є ця точка. Кутом між двома лініями, що перетинаються в просторі називається кут між дотичними до цих ліній в точці їх перетину. 7 зображений кут ВАС між великими колами АВ і АС на сфері і XAY, що вимірює цей кут між дотичними АХ та AY до цих великих кіл. Якщо ми проведемо велике коло, яке є полярою вершини А кута на сфері і яке перетинає сторони цього кута в точках В і С, то промені ОВ і ОС відповідно паралельні кутам АХ та АУ, дотичним до сторін кута (рис. Так як два кути ВАС і ВА?С, утворені двома півколами при їх різних кінцях, рівні одному і тому ж куту ВОС, то ці кути рівні між собою і величина кожного з них називається кутом між двома великими півколами.а) Для звязку гіпотенузи та катетів маємо сферичну формулу Піфагора: . Домовимось називати два елементи трикутника однорідними, якщо обидва вони більше або менше за 90 , і різнорідними у тому випадку, коли один із них більший, а другий менший за 90 . При цій умові маємо такі співвідношення між величинами катетів і гіпотенузи сферичного трикутника: якщо катети прямокутного сферичного трикутника однорідні, то гіпотенуза менша зо 90 ; якщо ж катети різнорідні, то гіпотенуза більша за 90 . б) Для звязку гіпотенузи з прилеглими до неї кутами маємо формулу .У будь-якому сферичному трикутнику різниця суми двох будь-яких кутів і третього завжди менша двох прямих кутів. За властивостями полярних трикутників,маємо: a1 b1 >c1, а1=180°-?А, b1=180°-?В c1=180°-?C Зробивши в нерівності заміну, дістанемо: (180°-?A) (180°-?B) >180°-?C, або після спрощення: ?A ?B-?C <180°, що й треба було довести. У будь-якому сферичному трикутнику сума кутів завжди менша 540° і більша від 180°, тобто 180° <?A ?B ?C <540°. Розглянемо сферичний трикутник АВС і полярний відносно нього трикутник А1В1С1. За теоремою 6,4 Сума сторін (периметр) сферичного трикутника завжди менша за 360° і більша від нуля, у кожному сферичному трикутнику 0°<а b с<360°, Для трикутника А1В1С1, полярного відносно трикутника АВС, вона теж справджується, запишемо подвійну нерівність, як дві нерівності, а саме: а1 b1 с1<360°, (1) а1 b1 с1>0°.Проведемо з точки А дотичні АМ і AN до сторін с і b і знайдемо точки М і N перетину цих дотичних з продовженнями радіусів ОВ і ОС (мал. Тоді кут А дорівнює куту MAN, і для плоского трикутника MAN чинності плоскою теореми косинусів отримуємо MN 2 = З іншого боку, кути ВОС, АОС та АОВ, які є центральними кутами великих кіл сфери, що спираються на дуги a, b, c, відповідно рівні , і . Тому з трикутника OMN знаходимо MN 2 = OM 2 ON 2 - 2OM ON cos . Якщо тепер сторона b більше , А сторона з менше , То продовжимо боку а і b нашого трикутника до перетину в точці С ", діаметрально протилежній точці С (мал.32).Доведемо тепер сферичну теорему синусів, аналогічну теоремі синусів плоскою тригонометрії. Застосовуючи це рівність, обчислимо відношення : Так як отриманий вираз симетрично щодо сторін a, b, c, то воно дорівнює аналогічним виразами, отриманим з лівої частини цієї рівності заміною сторін a, b, c і кутів А, В, С у круговому порядку. Ця формула і висловлює сферичну теорему синусів: синуси сторін сферичного трикутника відносяться, як синуси протилежних кутів.Для кількісного розвязку задач за допомогою стереографічної та гномостереографічної проекцій користуються градусними сітками. Отже, вона зображає таку кар

Зміст

Вступ

1. Основні поняття

1.1 Виникнення і розвиток сферичної геометрії

1.2 Сфера, велика і мала окружності

1.3 Відстань між двома точками на сфері

1.4 Кути на сфері

1.5 Сферичні трикутники

2. Теореми сферичної тригонометрії

2.1 Звязок між величинами сторін та кутів прямокутного сферичного трикутника

2.2 Сума кутів сферичного трикутника

2.3 Сферична теорема косинусів

2.4 Сферична теорема синусів

3. Застосування сферичної геометрії

3.1 Стереографічна сітка Вульфа

3.2 Приклади розвязання типових задач

Висновок

Література