Аналіз закону Кулона. Сутність поняття "електричний заряд". Бурштин як матеріал, що притягає до себе предмети після тертя. Характеристика принципу суперпозиції кулонівських сил та суперпозиції полів. Особливості задач на знаходження потенціалів.
Можете бути певними, що без матеріалу із цього курсу ви не обійдетесь на будь-якій кафедрі. На найближчих лекціях будемо користуватись елементами векторного аналізу, теорії функції комплексної змінної, розвязувати системи диференціальних рівнянь, тощо. Як завжди, будуть лекції, семінари, лабораторні заняття. Залік ставиться за лабораторними роботами, оцінка за семінари подається лектору для врахування на екзамені. Колоквіумів буде два : перший по електростатиці і діелектриках у електростатичному полі наприкінці жовтня; другий далі по курсу до рівнянь Максвелла, або їх включаючи, у кінці листопада або на початку грудня.Для розуміння електричної будови речовини суттєвими є дві відомі властивості заряду : заряд зберігається і заряд квантується. Навіть припускаючи існування кварків із зарядом , поки що теорія не може пояснити, чому не можуть існувати частинки із зарядом або , а бо існувати можуть. Кулон встановив, що сили електростатичної взаємодії є центральними, тобто вони діють по лінії, що зєднують центри зарядів (а фактично самі заряди, оскільки закон Кулона справедливий лише для точкових зарядів). Наявність відмінної від нуля рівнодіючої сил веде до можливості рівноважного розподілу зарядів всередині провідної кулі, оскільки на заряди діятимуть сили не тільки з боку внутрішніх шарів, а й ззовні.
План
Фізичний зміст ротору - це наявність чи відсутність у векторному полі циркуляції по замкнутому контуру.
З умови випливає, що електростатичне поле є безвихровим, тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля у ньому відсутня. У ньому немає замкнутих силових ліній. Всі вони починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних, хоча б і індукованих.
І останнє зауваження. Умови потенціальності електростатичного поля як у інтегральному вигляді, так і у диференціальному вигляді є частинними випадками рівнянь Максвелла ! (так само як і обидва вигляди теореми Остроградського-Гаусса.
Скалярний потенціал, різниця потенціалів
Ми вже переконались, що електричне поле можна характеризувати напруженістю електричного поля. Введемо ще одну характеристику.
Для потенціальних полів можна ввести поняття потенціалу, а, точніше, різниці потенціалів.
Різницею потенціалів (або електричною напругою) між точками 1 і 2 називається робота, яку виконують сили поля при переміщенні одиничного позитивного заряду довільним шляхом з точки 1 у точку 2 : .
Зверніть увагу, у виразі для роботи заряд відсутній, бо він одиничний.
Таке визначення має сенс, оскільки ця робота не залежить від форми шляху, а визначається тільки положеннями початкової і кінцевої точок. Воно стосується тільки різниці потенціалів. Можна вибрати якусь початкову точку 0 і приписати потенціалу у цій точці значення . Тоді потенціали решти точок визначаться однозначно : ; .
Якщо змінити потенціал , решта потенціалів зміниться на таку ж саму сталу. Таким чином потенціал визначається з точністю до сталої, але це не має значення, оскільки фізичні явища повязані з напруженістю електричного поля, яка, в свою чергу, повязана саме з різницею потенціалів.
Оскільки існує і просто поняття потенціалу, то нам треба його якось визначити. Його можна визначати через ту ж саму роботу, якби позбавитись другого потенціалу. Коли потенціал може перетворитись на нуль ? Скоріше за все тоді, коли напруженість електричного поля перетвориться на нуль. А коли прямує до нуля напруженість поля точкового заряду ? На нескінченності. Тоді визначення потенціалу можна дати наступним чином : Потенціал чисельно дорівнює роботі, що виконує поле при віддаленні одиничного позитивного заряду на нескінченність
Поняття різниці потенціалів широко використовують з двох причин.
По-перше, опис електричного поля за допомогою потенціалу значно простіший, ніж за допомогою напруженості електричного поля. Напруженість поля - вектор, а різниця потенціалів - скаляр. Для визначення напруженості у кожній точці треба знати три скалярні величини складові напруженості по координатах. Потенціал визначається в кожній точці лише одним скалярним значенням.
По-друге, різницю потенціалів простіше виміряти на досліді, існують відповідні прилади. Для вимірювання напруженості електричного поля зручних методів немає.
Тепер визначимо, в яких одиницях визначається різниця потенціалів (або напруга). Для цього давайте запишемо вираз для роботи, яка виконується при переміщенні не одиничного заряду, а заряду . Тоді
; .
Користуючись цією формулою і введемо одиниці виміру.
В системі Гаусса за одиницю потенціалу приймають різницю потенціалів між двома таким точками, що при переміщенні електростатичної одиниці заряду між ними електричне поле виконує роботу у 1 ерг :
.
Власної назви вона не має. Красуня просто. І, як бачите, дуже зручна.
Практично вживається одиниця потенціалу системи СІ - вольт.
Вольт - є різниця потенціалів між такими точками, коли при переміщенні заряду в 1 Кл з однієї точки в іншу електричне поле виконує роботу, рівну 1 Дж.
Задачі на знаходження потенціалів
Із означення потенціалу можна знайти його у деяких найпростіших випадках.
Потенціал точкового заряду. Нехай є точковий заряд . Він створює поле . Зафіксувавши потенціал однієї з точок поля, можемо знайти будь-яку. Нехай . Тоді
.
Отже, потенціал точкового заряду в системі CGSE;
в системі SI.
Потенціал сукупності точкових зарядів. Внаслідок принципу суперпозиції очевидно, що потенціал сукупності точкових зарядів в системі CGSE;
в системі SI.
Потенціал, який створює область, у якій розподілений заряд. Нехай обєм заряджений із обємною густиною . Виділений обєм можна вважати точковим зарядам. Він створює на відстані потенціал .
Рис.
Сумарний потенціал від усього обєму визначається інтегруванням по обєму в системі CGSE;
в системі SI.
Потенціал всередині плоского конденсатора. Нехай є плаский конденсатор. На одній обкладинці потенціал рівний нулю. На другій - . У довільній точці з координатою
Рис.
.
На другій пластині . Тоді .
Потенціал всередині сферичного конденсатора. Маємо сферичний конденсатор (дві сфери із спільним центром). Будемо вважати потенціал внутрішньої пластини рівним нулю, а потенціал зовнішньої пластини - . Задача має сферичну симетрію, тому
Рис.
, де повний заряд внутрішньої сфери. Скориставшись тим, що при , маємо.
Рис.
Потенціал всередині циліндричного конденсатора (коаксіальний кабель). Поле поза тонкою ниткою визначається як , де заряд, що припадає на одиницю довжини нитки, а - відстань від центра кабелю. Тоді
; .
Остаточно маємо.
Звязок між напруженістю електростатичного поля та потенціалом
Ми вже переконалися, що електричне поле можна характеризувати як вектором напруженості електричного поля, так і потенціалом. Хоч одна із величин векторна, а друга скалярна, вони характеризують той самий обєкт. Отже, можна очікувати, що між ними існує звязок.
Нехай є електричне поле . Виберемо декартову систему координат. Електричне поле має три проекції вздовж осей . Виберемо 2 точки із координатами та . Ці точки лежать на прямій, паралельній осі , на нескінченно малій відстані .
Різницю потенціалів між точками 1 і 2 можна записати двома способами. З одного боку, , оскільки вздовж напрямку діє лише одна складова вектора напруженості електричного поля. З іншого боку, , скористалися малим приростом потенціалу по осі . По решті координат приросту немає, отже складові відсутні.
Порівнявши обидва рівняння, маємо
Оскільки вісь вибиралася нами довільно, а всі компоненти рівноцінні, то ніхто не заборонить нам записати такі ж рівняння і для інших координат
; .
Знов згадаємо, що напруженість електричного поля - вектор, тому
.
Підставивши вирази для координат вектору напруженості електричного поля через потенціали, маємо
.
Оскільки потенціал є скаляром, винесемо його з під знаку вектора
.
Остаточно, отримуємо звязок між вектором напруженості електричного поля та потенціалом
Цей звязок дає нам можливість ввести одиниці виміру напруженості електричного поля, яку ми так тактовно обминули раніше. В системі Гаусса вона не має власної назви, тому не буду вас плутати одиницями CGSE.
В системі СІ напруженість електричного поля вимірюється
.
Дуже широко вживається і , це похідна одиниця системи СІ, не системи Гаусса, оскільки у ній немає В.
Рівняння Лапласа і Пуассона
Тепер давайте повернемось до запису теореми Гаусса у диференціальній формі (воно ж одне із рівнянь Максвелла)
в системі CGSE.
Згадаємо вираз для дивергенції і запишемо
.
Ми отримали, що . Підставимо значення через потенціал
.
Поуправляємось трохи у математиці. Розглянемо комбінацію двох операторів . У дивергенції відповідна похідна береться від відповідної проекції вектора, у нашому випадку від , тому
.
Цей оператор має назву оператор Лапласа (лапласіан, або просто лаплас). Тоді наше рівняння набуває вигляду
.
Це рівняння має назву рівняння Пуассона.
Частинним випадком рівняння Пуассона за відсутності вільних зарядів має назву рівняння Лапласа і вигляд
.
Оскільки в системі СІ диференціальний вигляд теореми Гаусса
, то легко переконатись, що в системі СІ рівняння Пуассона матиме вигляд
,
а рівняння Лапласа не зміниться.
Для чого, власне, нам потрібні ці рівняння ? Основною задачею електростатики є знаходження розподілу потенціалу (а, отже, і напруженості електричного поля ) за відомим розподілом заряду , або навпаки. Ми не будемо доводити, що розвязок цієї задачі єдиний (існує так звана теорема єдиності розвязку - теорема единственности), але це так. Отже, достатньо розвязати рівняння Пуассона, і ми будемо впевнені, що знайдений розвязок саме той.
Взагалі ця задача у загальному випадку не розвязується. Її розвязують або експериментально, або наближено, чисельними методами.
Так-сяк її можна розвязати за певних умов, для деяких частинних випадків. Наприклад, за відсутності обємного заряду. Таким частинним випадком є провідник у електростатичному полі.
Размещено на .ru
Список литературы
. Тамм И.Е. Основы теории электричества;
2. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т.5-7;
3. Парселл Э. Электричество и магнетизм (серия БКФ).
Для деяких розділів потрібні будуть книги
1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела;
2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела, в 2-х томах;
3. Дэвис Д.А. Волны, атомы и твердые тела.
І, нарешті, для тих, хто глибше цікавиться наукою, пропоную пірнути ближче до першоджерел : 1. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме, в 2-х томах.
Електростатика у вакуумі
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
