Экстремальные задачи на внеклассных мероприятиях в школе - Курсовая работа

Среди различных математических задач встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т. п. Подобные задачи обладают своеобразной привлекательностью. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за наименьшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать и т. д. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение некоторой функции. К сожалению, задачам "на экстремум" в школьном курсе математики уделяется явно недостаточное внимание.Подбор и систематизация задач выполнен по следующему критерию: - Какой теоретический факт лежит в основе метода решения этих задач;Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого значения х, при котором этот квадратный трехчлен получит наибольшее значение. По теореме 4 такое значение заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент равен - 1, т.е. отрицателен) и равно В таком случае и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу. Из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, мы видим, что площадь интересующего нас прямоугольника есть .Иначе говоря, есть произведение двух сомножителей х и Но сумма этих сомножителей есть ,т. е. число, не зависящее от выбора х. Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор должен иметь форму половины квадрата.Следствия из теоремы: 1) произведение nнеотрицательных сомножителей (сумма которых постоянна) принимает наибольшее значение, когда все эти сомножители равны. 2)сумма неотрицательных слагаемых, произведение, которых постоянно, принимает наименьшее значение, когда все слагаемые равны. 3) Функция в которой независимая переменная х принимает только положительные значения) достигает своего наименьшего значения при и только при этом значении х. Задачи: №1.Какое наибольшее значение может иметь многочлен ?[5] Равенство достигается при , то есть при или Итак, наименьшее значение данного выражения равно №4 Практическая задача[5]: Из квадратного листа жести со стороной а сделать ящик наибольшего возможного объема, открытый сверху, вырезая равные квадраты по углам и загибая затем жесть так, чтобы образовать бока ящика (см.рис 1)2)Если функция (имеющая производную) при принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при обращается в 0. 3) Для того чтобы функция( имеющая производную) имела при или минимум, необходимо , чтобы производная при этом значении х была равна 0. 4) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке :-Найти критические точки, лежащие внутри отрезка, т.е. на интервале (а,b). Чтобы решить эту задачу, мы должны будем воспользоваться известным принципом Ферма, утверждающим, что свет идет из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого требуется наименьшее время. -время в течении которого луч света пройдет единицу пути в среде , содержащей точку А, а - время прохождения единицы пути в среде, содержащей B.Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Содержание

1. Введение

1.1 Актуальность темы

1.2 Цели

2. Подбор и систематизация задач на экстремумы

2.1 Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена

2.2 Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом

2.3 Применение производной для решения практических задач

2.4 Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции

2.5 Геометрические задачи

3. Планирование факультатива

Литература

1.1 Актуальность проблемы

Среди различных математических задач встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т. п. Подобные задачи обладают своеобразной привлекательностью. По-видимому, это объясняется тем, что они чем-то похожи на наши повседневные проблемы. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за наименьшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать и т. д. У всех этих жизненных проблем есть одно общее свойство: необходимо добиться наилучшего результата, выполнив определенные условия. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение некоторой функции. Оба понятия - максимум и минимум - объединяются одним термином "экстремум".

К сожалению, задачам "на экстремум" в школьном курсе математики уделяется явно недостаточное внимание. В лучшем случае школьники старших классов умеют найти экстремум простейших функций с помощью производной. У них создается ложное впечатление, будто это единственный метод решения подобных задач. Встретившись на вступительном экзамене с нестандартно сформулированной задачей "на экстремум", многие абитуриенты совершенно теряются и не знают, как к ней подступиться. Вместе с тем, в элементарной математике имеется целый набор приемов решения подобных задач. Так, например, многие задачи достаточно просто решаются применением теорем о средних, свойств квадратной функции;

1.2 Цель работы

Цель: Раскрытие возможности рассмотрения экстремальных задач как содержания факультативного курса для учащихся.

Задачи: 1) подбор и систематизация различных задач на экстремум по способам их решения, 2) планирование факультативного курса для школьников на эту тему.

- Осознанное понимание учащихся понятия "Экстремальная задача";

- Овладение основными рассмотренными методами решения задач на максимум и минимум;

- Развитый интерес к задачам математики , как к задачам тесно связанным с жизнью.

- Умение создания по задаче, ее математической модели.

Планируемое количество часов: 10ч

Содержание: "Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена": теорема о наибольшем и наименьшем значении квадратной функции.

"Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом": среднее арифметическое, среднее геометрическое, теорема о связи между средним арифметическим и средним геометрическим, и некоторые следствия из нее.

"Применение производной для решения практических задач": производная, основные теоремы, используемые для нахождения экстремума функции, нахождение экстремума функции на отрезке.

"Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции": понятие линейного программирования, линейная функция двух переменных, графическое решение задач линейного программирования (случай двух переменных).

"Геометрические задачи": рассмотрение различных задач геометрического содержания на экстремум.

Тематическое планирование: 1) Наименьшее и наибольше значение квадратного трехчлена (2ч)

2)Применение теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом(2ч)

3)Применение производной для решения практических задач(2ч)

4) Практические задачи, приводящие к линейной целевой функции(2ч)

5)Геометрические задачи(2ч)

Подбор задач: Задачи по каждой из тем были рассмотрены в предыдущем параграфе.

Конспект урока

Тема: "Универсальный метод решения задач на экстремумы".

Тип: Комбинированный урок.

Цели: Обучающие: отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной, обобщить материал по теме "Решение экстремальных задач".

Развивающие: развитие волевых качеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельной работы.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность.

Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание Методы и приемы Время

1. Орг. момент Сообщение цели урока Инструктаж учителя 7 мин

2. Изучение нового материала 1.Суть метода. 2. Пример решения задачи с помощью дифференцирования. Лекция (объяснительно-иллюстративный с элементами проблемного изложения) Учащиеся конспектируют, задают вопросы. 16 мин

3.Закрепление пройденного материала. Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый) 31 мин

4. Подведение итогов беседа 2 мин

Ход урока: Деятельность учителя Деятельность учащихся

I. Орг. момент. Здравствуйте, садитесь. На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось "изобретать" подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ. Садятся. Слушают учителя, отвечают на его вопросы.

II. Лекция. 1. Суть метода. Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма. Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов. Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f "(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0. Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у" = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f "(х) = 0 дает лишь "подозрительные" на экстремум значения х. Как же из этих "подозрительных" значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы? Как для выделенных значений установить вид экстремума? По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f "(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой. Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли "подозрительная" точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице. х0 ?х, ?х<0 х0 х0 ?х Поведение f(x) f "(x) f "(x) f "(x) f "(x) - - 0 0 0 0 - - максимум минимум возрастает (экстремума нет) убывает (экстремума нет) Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы. Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в "подозрительной" точке х0 производная второго порядка f ""(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ""(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение. Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример. 2. Пример решения задачи. Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади) Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади. Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х(0<х?100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и CDE следует: Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).

Ученики конспектируют, задают вопросы

Слушают учителя, записывают решение в тетрадь, задают возникающие вопросы.

III Закрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи. Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. Учащиеся берут карточки с заданиями и Преступают к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.

IV Подведение итогов Итак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение. Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) Задают вопросы, которые остались непонятными

V Запись домашнего задания Домашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, до решать задачи своей карточки. Записывают.

Задачи предлагаемые учащимся.

Задача 1.

Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Решение: Пусть х и у - линейные размеры участка в метрах, тогда площадь участка есть , откуда . длина всего забора выразится функцией причем по смыслу задачи x>0. Далее имеем откуда при (поскольку x>0). Если 014, то ; поэтому x=14 есть точка минимума функции . в результате получаем, что x=14, у=21.

Ответ: x=14, у=21.

Задача2.

Число 81 разбить на 3 положительных сомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трех сомножителей была наименьшей.

Решение: Обозначим первое слагаемое за х. Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2х2. Найдем сумму слагаемых S. S=3х 81/2х2. Найдем наименьшее значение ФУНКЦИИS.Для этого найдем производную S"=3-81/х3=0 => х=3- минимальное значение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5.

Задача3.

Из квадратного листа железа со стороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным.

Решение: Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (а -х), а объем коробки равен S (а -х)х2 на интервале (0, а). Таким образом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V(x)=1/2(a - x)x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции :V/ (x) = ax - 3/2 x2, ax - 3/2 x2=0, т.е. х=0 или х=2/3 а V(2/3а) =1/2(a -2/3a)(2/3a)2= 2/27 a3. Т.к. V(0)=0 и V(a) =0, своего наибольшего значения на отрезке функция достигает при х =2/3а, т.е. MAXV(x) =2/27 a3.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а.

Заключение

Задачи на максимум и минимум часто встречаются как в науке, так и в повседневной жизни человека. Своей распространенностью они обязаны тому, что при решении задач мы находим наиболее выгодный из имеющихся вариантов.

При подготовки курсовой работы была изучена литература по данной теме, исторические задачи и их решения.

Также были рассмотрены различные подходы к решению задач на экстремум.

Приведена разработка факультатива на тему "Экстремальные задачи математики".

Целью курсовой работы было раскрытие возможности рассмотрения экстремальных задач как содержания факультативного курса для учащихся. Считаю, что задачи выполнены, цель достигнута.

Литература

1) Ф.Ф.Нагибин "Экстремумы"- Просвещение, Москва-1966 г.-120с.

2) И.П. Натансон " Простейшие задачи на максимум и минимум"- Москва, 1950 г-31 с.

3) В. Ю. Протасов "Максимумы и минимумы в геометрии" ,серия: "Библиотека ,,Математическое просвещение""М.: МЦНМО, 2005. -56 с.

4) Д.О. Шклярский и др. "Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум". Библиотека математического кружка, выпуск 12- Москва, 1970 г.

5) А.П.Савин "Максимум , минимум и теорема о средних" / "Квант", 1970 г., №11

6) Л.С. Сагателова " Приложение теоремы о среднем арифметческом и среднем геометрическом к задачам на "экстремум" по геометрии" / Математика в школе, №10- 2009 г.

7) Беляева Э.С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. Пособие для учащихся. М.: Просвещение. 1977.-64 с.

8) ДЕМИДОВИЧВ.Б. Экстремальные задачи //Математика в школе. 2000. № 8.С.56 - 59.

9) Готман Э.Г. Задачи на отыскание наибольпшх и наименьших значений // Математика в школе. 1979. №2. С.36.

10) Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах н минимумах. - М. : Наука, 1986.- 192 с.

11) Буслаева И.П. Решение экстремальных задач без использования производной Математика в школе. 1995. № 5.С.67 -70.

12) Генкин Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VIII классе // Математика в школе. 2003. № 9. С. 51-54.

Размещено на .ru