Екстремальні задачі теорії наближення на класах нескінченно диференційованих періодичних функцій - Автореферат

Так, у 1936 році Ж.Фавар обчислив точні значення найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами порядку не вищого ніж n-1 на класах Wr?, RIN, (2р-періодичних функцій f(x) у яких (r-1)-а похідна f(r-1)(x) локально абсолютно неперервна на [-p,p], а f(r)(x) майже скрізь задовольняє умову | f(r)(x)|?1), довівши, що де - константи, відомі в математичній літературі як константи Фавара. Напрям, повязаний з вивченням наближень періодичних функцій за допомогою різноманітних лінійних методів підсумовування рядів Фурє, одержав розвиток у численних роботах А.Лебега, Ш.Валле Пуссена, Л.Фейєра, А.М.Колмогорова, С.М.Нікольського і ряду інших математиків. Нікольському, який поширив ці результати на класи WRHA функцій, у яких r-та дробова похідна за Вейлем належить класу Гельдера Ha і на більш загальні класи WRHW функцій, що задаються мажорантою w(t) модулів неперервності їх r-х похідних w(f(r);t). Задача про знаходження асимптотичних рівностей для величин де - фіксований клас 2р-періодичних функцій, X - лінійний нормований простір, упродовж багатьох десятиріч була однією з найважливіших в теорії наближення функцій. Метою роботи є одержання нових результатів про точні значення поперечників та найкращих наближень тригонометричними поліномами класів періодичних функцій високої гладкості в рівномірній та інтегральній метриках; знаходження асимптотично непокращуваних оцінок наближень класів періодичних функцій поліномами, що породжуються деякими важливими лінійними методами підсумовування їх рядів Фурє чи певними інтерполяційними процесами, в метриках просторів C і Lp, а також встановлення прямих та обернених теорем теорії наближення функцій у введених О.І.Степанцем просторах Sp.При цьому функцію j називають-похідною функції f і позначають через а функцію f(x) --інтегралом функції j і позначають через Якщо і, крім того, де - деяка підмножина з L0= {f: FIL, f^1}, то записують, що Коли виконується тотожність b?bk, то ядро позначають через Yb,-похідна позначається через fyb(?), а множини і - відповідно через Lyb і . У підрозділі 1.1. роботи розглядається задача про знаходження точних значень величин які називають найкращими наближеннями на класах та у метриках C i L відповідно. Означення Кажуть, що сумовна 2р-періодична функція K(t), яка тотожно не дорівнює нулю, задовольняє умову A*n, NIN (KIA*n), якщо існують тригонометричний поліном T*n-1 порядку n-1 і додатне число l?p/n таке, що для функції j*(t)=sign(K(t)-T*n-1(t)) майже при усіх t виконується рівність У підрозділі 1.1 встановлено деякі нові достатні умови, що забезпечують належність ядер вигляду до множини N*n (а отже, і до A*n) і на цій основі отримано точні значення величин найкращих наближень на класах згорток із ядрами, коефіцієнти y(k) яких прямують до нуля приблизно як члени геометричної прогресії. Класи породжувані ядрами (22), позначаються через а відповідні-інтеграли - через ; крім того, вважаємо, що Через w(t)=w(f;t) і wp(t)=wp(f;t) позначимо відповідно модулі неперервності функцій FIC і FILP, 1?p<? у просторах C і Lp: Тоді, поклавши Hw={JIC, w(j;t)?w(t)}, де w=w(t) - заданий модуль неперервності, будемо розглядати ще і класи і Основна ідея, на якій базуються результати підрозділу 3.2, полягає в тому, що залишки ядра вигляду (11) при YIDQ, 0<q<1, і n®? поводяться приблизно так само, як і залишки ядра Це дозволяє, зокрема, задачі про одержання асимптотичних рівностей для величин зводити до аналогічних задач для величин відповідно.Обчислено точні значення найкращих наближень класів періодичних функцій високої гладкості, шо задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L. Знайдено точні значення колмогоровських, бернштейновських і лінійних поперечників класів періодичних функцій високої гладкості, шо задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L. Одержані результати розповсюджено і на класи (y,b)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частковими сумами Фурє в метриках просторів C i Lp, 1?p??, на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів Lp, 1?p??, і L1 відповідно.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Обчислено точні значення найкращих наближень класів періодичних функцій високої гладкості, шо задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L.

2. Встановлено необхідні і достатні умови існування та єдиності інтерполяційних SK-сплайнів з рівномірним розподілом вузлів сплайнів та сталим зсувом вузлів інтерполяції.

3. Знайдено точні значення колмогоровських, бернштейновських і лінійних поперечників класів періодичних функцій високої гладкості, шо задаються за допомогою згорток з фіксованими твірними ядрами, в метриках просторів C і L.

4. Отримано асимптотично непокращувані нерівності типу Лебега на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій. Одержані результати розповсюджено і на класи (y,b)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.

5. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень частковими сумами Фурє в метриках просторів C i Lp, 1?p??, на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів Lp, 1?p??, і L1 відповідно. Отримані результати узагальнено на класи (y,b)-диференційовних функцій, які допускають аналітичне продовження у фіксовану смугу комплексної площини.

6. Отримано асимптотично непокращувані інтерполяційні аналоги нерівностей типу Лебега на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій CYBC елементи яких допускають зображення у вигляді згорток із фіксованими твірними ядрами. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах Cyb,? та CYBHW.

7. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних нескінченно диференційовних, аналітичних та цілих функцій Cyb,1 в метриці простору L.

8. Встановлено асимптотичні рівності для верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в метриках просторів C i L на класах інтегралів Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів L? і L1 відповідно.

9. Для класів Cyb,? i Lyb,1 періодичних функцій при високих показниках гладкості побудовано найкращий (в сенсі сильної асимптотики) лінійний метод наближення тригонометричними поліномами в просторах C i L відповідно.

10. Встановлено прямі та обернені теореми теорії наближення функцій у просторах Sp. Обчислено точні значення колмогоровських, бернштейновських, лінійних та проекційних поперечників класів періодичних функцій, що задаються певними умовами на усереднені значення модулів неперервності їх y-похідних з вагою m

1.Сердюк А.С. Оцінки поперечників за Колмогоровим класів нескінченно диференційовних періодичних функцій // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, № 12. - C. 1700-1706.

2.Сердюк А.С. Оцінки поперечників та найкращих наближень класів згорток періодичних функцій // Ряди Фурє: теорія і застосування: Праці Ін-ту математики НАН України. - 1998. - Т. 20. - С. 286-299.

3.Сердюк А.С. Наближення аналітичних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами в метриці L // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Ін- математики НАН України, 1998. - Вип. 3. - С. 240 - 250.

4. Сердюк А.С. Про існування та єдиність розв"язку задачі рівномірної SK-сплайн інтерполяції// Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, № 4. - C. 486-492.

5. Сердюк А.С. Поперечники та найкращі наближення класів згорток періодичних функцій// Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, № 5. - C. 674-687.

6. Сердюк А.С. Про асимптотично точні оцінки похибки наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами функцій високої гладкості// Доп. НАН України. - 1999. - № 8. - C. 29-33.

7. Сердюк А.С. Наближення періодичних функцій високої гладкості інтерполяційними тригонометричними поліномами в метриці L1 // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, № 7. - C. 994-998.

8. Сердюк А.С. Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами нескінченно диференційовних періодичних функцій в інтегральній метриці // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 53, № 12. - C. 1654-1663.

9. Сердюк А.С. Наближення періодичних аналітичних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами в метриці простору L // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 5. - C. 692-699.

10. Сердюк А.С. Про найкраще наближення на класах згорток періодичних функцій// Теорія наближення функцій та суміжні питання: Праці Інституту математики НАН України. - 1998. - Т.35. - C.172-194.

11. Сердюк А.С. Поперечники в просторі Sp класів функцій, що означаються модулями неперервності їх y-похідних // Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання : Праці Ін-ту математики НАН України. - 2003. - Т. 46. - C. 229-248.

12. Сердюк А.С. Наближення інтегралів Пуассона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. - 2004. - Т.56, №1. - C. 97-107.

13. Сердюк А.С. Наближення нескінченно диференційовних періодичних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами // Укр. мат. журн. - 2004. - Т.56, №4. - C. 495-505.

14. Сердюк А.С. Про одн лінійний метод наближення періодичних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Зб. Праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - Т.1, N 1. - С.295-336.

15. Сердюк А.С. Найкращі наближення і поперечники класів згорток періодичних функцій високої гладкості // Укр. мат. журн. - 2005. - Т.57, №7. - C. 946-971.

16. Сердюк А.С. Наближення класів аналітичних функцій сумами Фурє в рівномірній метриці // Укр. мат. журн. - 2005.-Т.57, № 8. - C.1079-1096.

17. Сердюк А.С. Наближення класів аналітичних функцій сумами Фурє в метриці простору Lp // Укр. мат. журн. - 2005. - T.57, № 10. - C.1395-1408.

18. Степанец А.И., Сердюк А.С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналитических функций// Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, № 3. - C. 375-395.

19. Степанец А.И., Сердюк А.С. Неравенства Лебега для интегралов Пуассона// Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, № 6. - C. 798-808.

20. Степанець О.І., Сердюк А.С. Оцінка залишку наближення інтерполяційними тригонометричними многочленами на класах нескінченно диференційовних функцій // Теорія наближення функцій та її застосування : Праці Ін-ту математики НАН України. - 2000. - Т.31. - С. 446-460.

21. Степанец А.И., Сердюк А.С. Приближение периодических аналитических функций интерполяционными тригонометрическими многочленами// Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, № 12. - C.1689-1701.

22.Степанец А.И., Сердюк А.С. Наближення аналітичних функцій сумами Фурє // Доповіді НАН України. - 2000. -№12. - С.20-24.

23.Степанец А.И., Сердюк А.С. Прямые и обратные теоремы приближения функций в пространстве S // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, №1. - C. 106-124.

24. Степанец А.И., Сердюк А.С. Неравенства Лебега для интегралов Пуассона// Приближение аналитических периодических функций. - Киев, 2000. - С. 43 - 59. - (Препр./НАН Украины. Ин-т математики; 2000.1).

25. Степанец А.И., Сердюк А.С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналитических функций// Приближение аналитических периодических функций. - Киев, 2000. - С. 60-92. - (Препр./ НАН Украины. Ин-т математики; 2000.1)

26. Сердюк А.С. Порядки рівномірного наближення класів згорток сумами Зігмунда// Пята Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука: Тези доповідей. - Київ, 1996. - С. 391.

27. Сердюк А.С. Точні оцінки поперечників класів (y,b)-диференційовних функцій//Міжнародна конференція "Теорія апроксимації та чисельні методи", присвячена 100-річчю з дня народження Є. Ремеза (Україна, Рівне, 19-21 червня 1996) : Тези доповідей. - Рівне, 1996. - С. 74.

28. Сердюк А.С. Оцінки поперечників класів згорток періодичних функцій// II школа "Ряди Фур"є: теорія і застосування": Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1997. - С. 114.

29. Сердюк А.С. Наближення нескінченно диференційовних періодичних функцій інтерполяційними тригонометричними многочленами// Міжнародна конференція з теорії наближення функцій та її застосувань, присвячена памяті В.К. Дзядика: Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1999. - С. 95.

30. Сердюк А.С. Наилучшие приближения и поперечники классов сверток периодических функций высокой гладкости // International conference Kolmogorov and contemporary mathematics ( Moscow, June 16-21, 2003) in commemoration of the centennial of Andrei Nikolaevich Kolmogorov: Abstracts.- М.: МГУ.- С.652-653.

31. Сердюк А.С. Наближення нескінченно диференційовних періодичних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами // Міжнародна наукова конференція Шості Боголюбовські читання (Чернівці, 26-30 серпня 2003): Тези доповідей. - Київ: Інститут математики НАН України, 2003. - С.204.

32. Сердюк А.С. Наближення інтегралів Пуассона сумами Фурє // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004 р., Чернівці, Україна): Тези доповідей. - Чернівці: Чернівецький національний університет, 2004. - С.95-96.

33. Сердюк А.С. Наближення інтегралів Пуассона сумами Фурє в метриці простору Lp // Конференція "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ", присвячена памяті А.Я.Дороговцева (1935-2004): Тези доповідей. - Київ: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2004. - С. 112.

34. Сердюк А.С. Про один лінійний метод наближення періодичних функцій // Міжнародна конференція памяті В.Я.Буняковського (1804-1889): Тези доповідей. - Київ: Інститут математики НАН України, 2004. - С.118.

35. Сердюк А.С. О наилучших приближениях и поперечниках классов сверток периодических функций // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика С.М.Никольского (Москва, Россия, 23-29 мая 2005): Тез. докладов.- М.: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН, 2005. - С.205.

36. Степанец А.И., Сердюк А.С. Приближение интерполяционными полиномами классов периодических аналитических функций// International Conference dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2000. - P. 81-83.