Розв’язання локального варіанту проблеми Помпейю для деяких плоских множин, дослідження питання про те, чи є дана множина множиною Помпейю в крузі знайденого екстремального радіусу. Розгляд таких, границя яких складається з дуги кола та двох відрізків.
Проблема про описання всіх множин Помпейю в просторі Rn, n?2, була сформульована румунським математиком Помпейю в двадцятих роках двадцятого сторіччя і є надзвичайно складною. Найбільш загальну достатню умову того, що дана множина є множиною Помпейю отримав Вільямс у вісімдесяті роки минулого сторіччя. З цього результату випливає, що якщо границя у множини є ліпшицевою та гомеоморфною до сфери, але не дійсно-аналітичною, то така множина є множиною Помпейю в Rn, n?2. При цьому залишається питання про те, які множини, що мають дійсно-аналітичну або не ліпшицеву границю є множинами Помпейю. Волчков отримав результат, з якого випливає, що множина Помпейю може мати не ліпшицеву, навіть фрактальну границю.Для відкритої множини BI Rn через Lloc(B) будемо позначати клас локально інтегрованих на B функцій. Диференційні оператори ¶/¶x, ¶/¶y та (y ¶/¶x - x ¶/¶y), а також всі можливі їх лінійні комбінації, оскільки вони утримують функцію в класі Ploc?(A,B), будемо називати припустимими. На початку метода, обраного для розвязання зазначених проблем, треба за допомогою підстановки замість функції f дії припустимого диференційного оператора на f звести інтеграл, що стоїть в лівій частині (1), до лінійної комбінації значень якихось диференційних операторів від функції f в особливих точках (вершинах) границі множини A, що розглядаються, та для всіх можливих значень їх параметрів знайдено величину r*(A)=inf{R>0: AI }, побудовані нетривіальні приклади функцій з нульовими інтегралами по деяким множинам. Для R>r*(A1(a)) розглянемо такі множини: V(z1,R,a) - містить всі допустимі положення вершини lz1 при таких рухах LIMOT(A1(a),BR), що сектор LA1(a) має вісь симетрії, яка проходить через початок координат; цілком аналогічно, лише с заміною z1 на z3 визначається множина V(z3,R,a); W(z1,R,a) та W(z3,R,a), що містять допустимі положення вершини lz1 та lz3 відповідно при всіх можливих рухах LIMOT(A1(a), R).A є множиною Помпейю (AIPOMP(BR)), а також дослідженню питання про приналежність даної множини сукупності множин Помпейю в крузі (кулі) найменшого зі знайдених радіусів (позначатиметься R(A)). Вперше знайдено величини R(A) для всіх кругових секторів, трикутника Рело, для широкого класу кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів в R3. A3(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
Вывод
Дисертаційна робота присвячена знаходженню радіусів кругів (або куль в R3) R, для яких дана множина A є множиною Помпейю (AIPOMP(BR)), а також дослідженню питання про приналежність даної множини сукупності множин Помпейю в крузі (кулі) найменшого зі знайдених радіусів (позначатиметься R(A)). В ній вперше в якості даних множин розглянуті такі, що мають границю, яка складається з дуги кола та двох відрізків або з більш, ніж однієї дуги різних кіл.
Вперше знайдено величини R(A) для всіх кругових секторів, трикутника Рело, для широкого класу кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів в R3. Для решти кругових сегментів, кругових лінз та циліндрів отримані оцінки величини R(A), які покращують відомі раніше оцінки Беренстейна та Гея.
Для всіх кругових секторів A1(a) з кутовою мірою , для трикутника Рело та сегментів A3(a), дуги яких мають міру досліджене питання про те, чи є ця множина множиною Помпейю в крузі відповідного екстремального радіусу.
Всі результати одержані автором особисто. Вони є новими і докладно обґрунтованими. Основні результати роботи знаходять застосування до різних питань математичного та комплексного аналізу, до теорії наближень, а також до обертання локального перетворення Помпейю.
Список литературы
1. Машаров П.А. Про циліндри з локальною властивістю Помпейю // Вістник Донецьконо національного університету. Серія А. Природничі науки. - 2000. - № 1. - c. 21-25
2. Машаров П.А. Новая теорема типа Мореры в единичном круге // Вісник Харківського національного університету. - 2000. - № 475, Серія "Математика, прикл. математика i механіка", вип. 49 - с. 126-132.
3. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // Доповіді НАН України. 2001. - № 7. - с. 25-29.
4. Машаров П.А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Вісник Дніпропетровського університету. Математика, випуск 6, 2001. - с. 72-81.
5. Машаров П. А. О множествах с локальным свойством Помпейю // Аналитические и численные методы в математике и механике, Труды XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, (17 - 21 апреля 2000 г.), Москва, мех.-мат. МГУ, 2001. -с. 115-118.
6. Машаров П. А. О замкнутости некоторых систем индикаторов плоских множеств в пространствах Lp // International Conference dedicated to M. A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centerary. Abstract. - Kiev.: IM NAS Ukraine, 2000. - с. 77-78.
7. Машаров П. А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело // Праці наукової конференції Донецького національного університету за підсумками науково-дослідницької роботи за період 1999-2000 рр. (секція математики) 18-20 квітня 2001 р., с. 4-6.
8. Машаров П. А. О плоских множествах с локальным свойством Помпейю // International conference on complex analysis and potential theory (Ukrain, Kiev 7-12 august 2001), Abstracts, p. 77-78.
9. Машаров П. А. Экстремальные варианты проблемы Помпейю для круговых луночек // Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посв. 100-летию Н. И. Ахиезера, Харьков, 13-17 авг. (2001), с. 66-68.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
