Екстремальні задачі і квадратичні диференціали в геометричній теорії функцій комплексної змінної - Автореферат

Зауважимо, що переважна кількість задач про неперетинні області, що були розглянуті у 1930 - 60 рр. були задачами, яким відповідають квадратичні диференціали з фіксованими полюсами. Тамразов привернув увагу до екстремальних задач, полюси відповідних квадратичних диференціалів яких не фіксовані, а володіють певною «свободою». Перші задачі з вільними полюсами про неперетинні області були сформульовані і частково розвязані Г.П. Дубінін розробив кілька нових потужних методів дослідження, які мають симетризаційну природу, і за їх допомогою розвязав низку нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами. Вивченню нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами присвячено другий, третій та четвертий розділи дисертації.Область називається круговою областю квадратичного диференціалу , якщо а) будь-яка траєкторія диференціалу , що перетинається з областю G, повністю належить G; б) G містить єдиний подвійний полюс a диференціалу ; в) область G\{a} заповнена траєкторіями диференціалу , кожна з яких є жордановою кривою, яка відокремлює точку a від границі області G; г) при певному виборі чисто уявної сталої c функція , доозначена рівністю w(a)=0, конформно відображає область G на круг |w|<r; д) G - максимальна (по включенню) область, що задовольняє умови а) - г). Для будь-якої (n, m) - променевої системи точок визначимо області і розглянемо наступний «керуючий» функціонал Будемо говорити, що відкрита множина (, ) задовольняє першу (відповідно другу, третю) умову ненакладання відносно заданої (n, m) - променевої системи точок, якщо при кожному фіксованому і для всіх різних і , які належать , виконується (і, крім того, відповідно , Будемо вважати, що r (D, a):=r (D(a), a), Нехай - система взаємно неперетинних областей. Тоді для будь-якої (n, m) - променевої системи точок , , , і для довільної відкритої множини D, , яка задовольняє першу умову ненакладання відносно системи , справедлива нерівність Тоді для будь-якої n-променевої системи точок такої, що , і для довільної відкритої множини D, , що задовольняє першу умову ненакладання відносно системи , виконується нерівність знак рівності в ній досягається тоді, коли і D є, відповідно, полюсами та обєднанням кругових областей квадратичного диференціалуНа основі поділяючого перетворення побудовано метод розвязання екстремальних задач - метод «керуючих» функціоналів. Цей метод відіграє важливу роль в другому і четвертому розділах. Введено поняття (n, m) - променевих систем точок, кутових параметрів та коефіцієнтів зміщення цих систем, що дало змогу розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розвязок. В третьому розділі запропоновано метод розвязання екстремальних задач з вільними полюсами, який засновано на комбінованому застосуванні варіаційного методу, методу квадратичних диференціалів, методу симетризації та теорії потенціалу. Саме завдяки цьому методу вдалося довести теореми 4.2.3 і 4.2.4, що є прикладом використання результатів дисертації в геометричній теорії функцій комплексної змінної.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена розробці нових методів дослідження екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної.

На основі поділяючого перетворення побудовано метод розвязання екстремальних задач - метод «керуючих» функціоналів. За його допомогою розвязано нові достатньо загальні екстремальні задачі. Цей метод відіграє важливу роль в другому і четвертому розділах.

Введено поняття (n, m) - променевих систем точок, кутових параметрів та коефіцієнтів зміщення цих систем, що дало змогу розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розвязок.

В третьому розділі запропоновано метод розвязання екстремальних задач з вільними полюсами, який засновано на комбінованому застосуванні варіаційного методу, методу квадратичних диференціалів, методу симетризації та теорії потенціалу. За допомогою цього методу доведено, наприклад, теорему 3.1.1. Розроблено новий метод розвязання екстремальних задач, який створено на основі леми 2.1.2 і теореми 4.1.1. Саме завдяки цьому методу вдалося довести теореми 4.2.3 і 4.2.4, що є прикладом використання результатів дисертації в геометричній теорії функцій комплексної змінної.

За допомогою запропонованих методів отримано результати, які певним чином враховують відхилення неекстремальної системи від екстремальної.

У порівнянні з відомими результатами В.М. Дубініна, Г.В. Кузьміної, Є.Г. Ємельянова істотно послаблені вимоги до геометрії розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, асоційованих з екстремальними задачами, які вивчаються.

Досліджено властивості голоморфних функцій, які задовольняють систему двох функціонально-диференціальних D_n- і D_m - рівнянь. Дано розвязок відомої гіпотези Дюрена в частинному випадку скінеченних лінійних функціоналів. Один із результатів автора у цьому напрямку було опубліковано в монографії американського математика P.L. Durena «Univalent functions». В 1984 році P.L. Duren запропонував гіпотезу (гіпотеза Дюрена), яка безпосередньо узагальнює цей результат. В загальному випадку ця гіпотеза залишається відкритою.

Отримано узагальнення відомої задачі Фекете про континуум найменшої ємності, який містить в собі задану рівнопроменеву систему точок.

[1] Бахтин А.К. О некоторых свойствах коэффициентов однолистных функций // Теория функций и ее приложения: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1979. - С. 3 - 8.

[2] Бахтин А.К. О коэффициентах однолистных функций // Вопросы теории аппроксимации функций: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1980. - С. 3 - 14.

[3] Бахтин А.К. О коэффициентах функций класса S // Докл. АН СССР, серия мат. - 1980. - 254, №5. - С. 1033-1035.

[4] Бахтин А.К. Некоторые свойства функций класса S // Укр. мат. журн. - 1981. - 33, №2. - С. 154 - 159.

[5] Бахтин А.К. Функции класса Гельфера и их коэффициенты // Геометрическая теория функций и топология: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1981. - С. 3 - 8.

[6] Бахтин А.К. О коэффициентах однолистных функций класса Гельфера // Укр. мат. журн. - 1985. - 37, №6. - С. 683 - 689.

[7] Бахтин А.К. Некоторые экстремальные задачи для многосвязных областей // Вопросы анализа и приближения: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1989. - С. 19 - 23.

[8] Бахтин А.К. Экстремальные задачи конформного отображения многосвязных областей // Современные вопросы теории приближения и комплексного анализа: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1990. - С. 12 - 17.

[9] Бахтин А.К. Ободной экстремальной задаче // Комплексный анализ и теория потенциала: Сб. науч. трудов. - Киев: Наук. Думка, 1992. - С. 12 - 18.

[10] Бахтин А.К. Об n-ых диаметрах континуумов // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, №11. - С. 1561-1563.

[11] Бахтин А.К. О произведении внутренних радиусов симметричных неналегающих областей // Укр. мат. журн. - 1997. - 49, №11. - С. 1454-1464.

[12] Бахтин А.К. Некоторые задачи в теории неналегающих областей // Укр. мат. журн. - 1999. - 51, №6. - С. 723 - 731.

[13] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности // Доп. НАН України. - 2004. - №8. - С. 7 - 15.

[14] Бахтин А.К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами на лучах // Доп. НАН України. - 2004. - №12. - С. 7 - 13.

[15] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучевых системах // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту мат. НАН України. - 2004. - 1, №3. - С. 235 - 243.

[16] Бахтин А.К. Экстремальные задачи со свободными полюсами на окружности // Доп. НАН України. - 2005. - №5. - С. 7 - 10.

[17] Бахтин А.К. Оценки функционалов для открытых множеств // Нелінійні коливання. - 2005. - 8, №2. - С. 147 - 153.

[18] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на двух окружностях // Доп. НАН України. - 2005. - №7. - С. 12 - 16.

[19] Бахтин А.К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полюсами // Доклады РАН. - 2005. - 405, №2. - С. 151 - 153.

[20] Бахтин А.К. Разделяющее преобразование и неравенства в задачах о неналегающих областях // Проблеми аналізу і алгебри: Зб. праць Ін-ту мат. НАН України. - 2005. - 2, №3. - С. 9 - 17.

[21] Бахтин А.К. Приведенные модули открытых множеств и экстремальные задачи со свободными полюсами // Доп. НАН України. - 2006. - №5. - С. 7 - 13.

[22] Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности // Укр. мат. журн. - 2006. - 58, №7. - С. 867 - 886.

[23] Бахтин А.К. О некоторых экстремальных задачах геометрической теории функций комплексного переменного // Доп. НАН України. - 2006. - №9. - С. 7 - 11.

[24] Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств // Доп. НАН України. - 2006. - №10. - С. 7 - 13.

[25] Бахтин А.К. Экстремумы линейных функционалов. - Киев, 1986. - 8 с. - (Препр./ НАН Украины. Ин-т математики; 86.25).

[26] Бахтин А.К. О некоторых задачах в теории неналегающих областей //Int. Conf. Complex Analysis and Potential Theory: Abstrs. - Kiev: Inst. Math. NAS Ukraine. - 2001. - P. 64.

[27] Бахтин А.К., Бахтина Г.П. Об экстремальных задачах для симметричных неналегающих областей // Укр. мат. журн. - 1997. - 49, №2. - С. 179 - 185.

[28] Бахтин А.К., Бахтина Г.П. Экстремальные задачи о неналегающих областях и квадратичные дифференциалы // Доп. НАН України. - 2005. - №8. - С. 13 - 15.

Размещено на .ru