Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
F(x, y)=a11x2 2a122xy a22y2 2a1x 2a2y a0 = 0 (1) кривой второго порядка, проходящей через эти точки, откуда следует, что кривая эта существует и единственна. Следовательно, всякая шестерка чисел А, В, С, D, Е, Н, удовлетворяющая первым четырем уравнениям (2), удовлетворяет и пятому уравнению (2), а это значит, что всякая кривая (1), проходящая через четыре точки M1, M2, M3, M4, проходит и через пятую точку M5. Если известно лишь, что множество действительных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям, (3) и (4), одно и то же и состоит более чем из одной точки, то Утверждение теоремы2 остается в силе (каждое из уравнений (3), (4) получается из другого умножением на числовой множитель). Докажем сначала частный случай этой теоремы, а именно случай, когда множество всех точек, удовлетворяющих уравнению (3), есть некоторая прямая d (т. е. когда линия, определяемая этим уравнением, есть пара совпадающих, непременно действительных, прямых). Это очевидно, если кривая (3) нераспадающаяся: тогда никакие три ее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек M1, M2, M3, M4, M5 можно взять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (3).
План
Содержание
Введение
1 Теорема единственности для кривых второго порядка
2 Различные способы доказательства теоремы единственности для кривых второго порядка
3 Пучок кривых второго порядка
4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка
Список литературы
Введение
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости - по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1
Теорема единственности для кривых второго порядка
Докажем что для кривых второго порядка так называемую «теорему единственности». Но сначала докажем следующее.
Теорема 1. Пусть на плоскости даны пять точек: M1 = (x1,y1), М2 = (х2 , у2), М3 = (х3, у3), М4 = (x4,y4), М5 = (х5, у5), из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Тогда однозначно, с точностью до числового множителя, определены коэффициенты а11=А, а12=В, а22=С, а1=D, a2=E, a0=H в уравнении
F(x, y)=a11x2 2a122xy a22y2 2a1x 2a2y a0 = 0 (1) кривой второго порядка, проходящей через эти точки, откуда следует, что кривая эта существует и единственна.
При этом, если данные пять точек действительны, то и проходящая через них единственная кривая второго порядка действительна.
Доказательство. Напишем условие того, что каждая из точек M1, M2, M3, M4, M5 лежит на кривой, заданной уравнением (1) с пока еще неизвестными коэффициентами а11=А, а12=В, а22=С, а1=D, a2=E, a0=H . Получаем систему пяти уравнений: Ax21 2Bx1yl Cy21 2Dx1 2Ey1 H=0, Ax22 2Вх2у2 Cy 22 2Dx2 2Еу2 Н =0, Ax23 2Bx3y3 Cy 23 2Dx3 2Еу3 H=0, (2)
относительно неизвестных А, В, С, D, Е, Н. Это - система пяти линейных однородных уравнений с шестью неизвестными. При этом, если точки M1, M2, M3, M4, M5 действительны, то и коэффициенты x21, 2x1yl и т. д. в уравнениях (2) действительны. Если система (2) - независима, то неизвестные А, В, С, D, Е, Н определены однозначно с точностью до числового множителя, и теорема доказана.
Предположим, что система (2) зависима. Тогда одно из уравнений, пусть пятое, есть линейная комбинация остальных четырех. Следовательно, всякая шестерка чисел А, В, С, D, Е, Н, удовлетворяющая первым четырем уравнениям (2), удовлетворяет и пятому уравнению (2), а это значит, что всякая кривая (1), проходящая через четыре точки M1, M2, M3, M4, проходит и через пятую точку M5. Покажем сначала, что в этом случае три точки из числа четырех M1, M2, M3, M4, лежат на одной прямой. В самом деле, в противном случае мы могли бы провести через точки M1, M2, M3, M4, две пары прямых, т. е. две распадающиеся кривые второго порядка: во-первых, M1M2 и M3M4, во-вторых, M1M3 и M2M4
Обе эти распадающиеся кривые проходят через четыре точки M1, M2, M3, M4 не имеют других общих точек; между тем у них должна была бы быть еще и пятая общая точка, а именно точка M5. Противоречие! Итак, утверждение доказано: из четырех точек M1, M2, M3, M4 три, пусть M1, M2, M3, лежат на одной прямой d.
Докажем, что на той же прямой d лежит и четвертая точка (M4 или M5). Пусть ни M4, ни M5 не лежат па прямой d.
Проведем через точку M4 произвольную прямую d", не проходящую через точку M5. Имеем снова кривую второго порядка, а именно пару прямых d и d", проходящую через точки M1, M2, M3, M4, но не проходящую через M1, - опять получили противоречие.
Итак, мы доказали: если уравнения (2) зависимы, то из точек M1, M2, M3, M4, M5 четыре лежат на одной прямой. Теорема 1 доказана.
Теорема2 (теорема единственности). Если два уравнения второй степени
F(x, y) =a11x2 2a122xy a22y2 2a1x 2a2y a0 = 0 (3) и F?(x, y) =a?11x2 2a?122xy a?22y2 2a?1x 2a?2y a?0 = 0 (4) удовлетворяются одним и тем же множеством точек С комплексной плоскости, то одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторой числовой множитель.
Добавление к теореме 2. Если известно лишь, что множество действительных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям, (3) и (4), одно и то же и состоит более чем из одной точки, то Утверждение теоремы2 остается в силе (каждое из уравнений (3), (4) получается из другого умножением на числовой множитель).
Докажем сначала частный случай этой теоремы, а именно случай, когда множество всех точек, удовлетворяющих уравнению (3), есть некоторая прямая d (т. е. когда линия, определяемая этим уравнением, есть пара совпадающих, непременно действительных, прямых). Перейдя к системе координат, осью ординат которой является прямая d, можем предположить, что ее уравнение есть х = 0. Достаточно доказать, что в этом случае F(x, у) = a11x2.
Уравнение (3), по предположению, удовлетворяется точками M=(0, у) при любом у, и только этими точками. Поэтому, подставив в (3) значение х=0, получим тождество относительно у: a22y2 2а2у a0 = 0.
Это значит, что a22 = a2 = a0 = 0 и уравнение (3) имеет вид
F(x, у) = х(а11х 2a12y 2a1) = 0. (5)
Оно удовлетворяется, кроме точек оси ординат, еще и всеми точками прямой d": а11х 2a12y 2a1= 0.
Но уравнение (5) должно удовлетворяться только точками оси ординат, поэтому прямая d" совпадает с прямой х = 0, что имеет место лишь при a11 ? 0, a12 = a1 = 0.
Тождество F(x, у)=а11x2, а вместе с тем и разбираемый частный случай теоремы доказаны.
Пусть теперь кривая, определяемая уравнением (1), не есть пара совпадающих прямых. Тогда на ней можно найти пять точек M1, M2, M3, M4, M5 , из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Это очевидно, если кривая (3) нераспадающаяся: тогда никакие три ее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек M1, M2, M3, M4, M5 можно взять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (3). Если же кривая (3) распадается па пару различных прямых d и d?, то достаточно взять три точки на одной из этих прямых, а две другие - на другой. Точки (из которых никакие четыре не лежат на одной прямой) лежат и на кривой (3), и на кривой (4); поэтому, в силу теоремы, левые части уравнений (3)и(4) могут отличаться лишь постоянным множителем. Теорема 2 доказана.
Если (3) не есть мнимый эллипс или пара мнимых (сопряженных) прямых, т. е. если она содержит более одной действительной точки, то множество ее действительных точек бесконечно, и поэтому точки M1, M2, M3, M4, M5 в предыдущем рассуждении могут быть предположены действительными. Этим доказано и добавление к теореме 2.
2 Разные способы доказательства теоремы единственности
Преимущество предлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко может быть перенесено на случай поверхностей F{x, у, z) = 0 (и даже на случай (n-1) -мерных поверхностей второго порядка в n-мерном пространстве).
Обозначим через C множество точек, лежащих на кривой
F(x, у) = а11х2 2а12ху а22у2 2а1х 2а2у а0 = 0 (6) т. е. множество всех точек М=(х,у) комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению
F(x, y) = b11x2 2b12xy b22y2 2b1x 2b2y b0 = 0 (7)
Вспомним, что неасимптотические направления {? : ?} по отношению к кривой (6) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {? : ?} имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7), будет неасимптотическим и для другой кривой.
Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление {? : ?} для кривых (6) и (7).
Одну из прямых d направления {? : ?} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {? : ?}, - за ось абсцисс координатной системы О"х"у". Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О"х"у" вид
F?(x?, y?) = а?22у? 2 а?11х? 2 2а?1x? а?0 =0 (8)
F?(x?, y?) = b?22y? 2 b?11x? 2 2b?1y? b?0 = 0 (9)
Здесь a?22?0 (и b?22?0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у", удовлетворяющий уравнению ?? (x?, y?) = а?11х? 2 а?22у? 2 = 0, имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у" = 0 обозначим через C0. Возможны следующие случаи: 1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из f(x") = a?11x? 2 2a?1x? a?0= 0 f(x") = b?11x? 2 2b?1x? b?0= 0 противоречиво, т. е.
Множество C0 пусто
Сногочленов f(x"), f(x") тождественно равен отличной от нуля постоянной а"0, соответственно b?0.
2° Множество С0 совпадает со всей прямой у" = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x"), f(x") тождественно равен нулю.
Множество C0 совпадает с прямой y?o?
3° Ни одни из случаев 10, 20 не имеет места. Тогда множество С0 состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения a?11x? 2 2a?1x? a?0= 0 (10) так и уравнения b?11x? 2 2b?1x? b?0= 0 (11)
Множество C0 состоит из одной точки А Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором ? ? 0 имеем b?11x? 2 2b?1x? b?0 =?(a?11x? 2 2a?1x? a?0) и, значит, полагая ?=b?22:a?22, имеем
Докажем, что ?=?. Для этого дадим переменному х" значение x?=x?1, являющаяся корнем уравнения а?11х? 2 2а?1x? а?0=1 и найдем значение y?, удовлетворяющее уравнению
F?(x?1, y?) = а?22у? 2 1 = 0
т. е. y?1= ± ( - 1 : a?22 )0,5.
Значит, точка (x?1, y?1 ) принадлежит множеству С; следовательно, F?(x?1, y?1) = ?а?22у? 2 ? · 1= ?а?22( - 1 : a?22) ? = 0 т. е. ?=?, и F?(x?, y?)=? F?(x?, y?), значит, и F(x, y)=? F(x, y).
Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем
- множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений y?=±(-(a?0 : a?22)0,5) или y?=±(-(b?0 :b?22)0,5).
Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было
(a?0 : a?22)=( b?0 : b?22), т.е. b?22=?a?22, b?0=?a?0 при ?=( b?22: a?22).
Теорема доказана во всех случаях.
3 Пучок кривых второго порядка
Пусть M1, M2, M3, M4, - четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M5 (не коллинеарную никаким трем из точек M1, M2, M3, M4, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M1, M2, M3, M4, и точку M5 .
Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M1, M2, M3, M4, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M1, M2, M3, M4.
Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и ?F при любом ??0 - это одна и та же кривая. Если F (х, y) = ?1F1(x, y) ?2F2(x, y),
то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами ?1 и ?2) кривых F1 и F2. Если кривые F1 и F2 принадлежат пучку, определяемому точками Mi = (xi , yi) (i = l, 2, 3, 4), то уравнения F1(x, у)=0 и F2(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = xi , у = yi при любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение ?1F1(x, y) ?2F2(x, y)=0 будет при х = xi , у = yi удовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F1 и F2. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F1 и F2.
Пусть пучок определен четверкой точек M1, M2, M3, M4. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M5, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M1, M2, M3, M4. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M1, M2, M3, M4, M5. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию ?1F1 ?2F2 чтобы кривая ?1F1(x, y) ?2F2(x, y)=0 (12) проходила через точку M5 = (х5, у5), т. е. достаточно определить ?1 и ?2, вернее, их отношение ?1: ?2, из условия ?1F1(х5, у5) ?2F2(х5, у5), (13)
Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями ?1F1 ?2F2 двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра- отношением ? = ?1:?2 двух коэффициентов в линейной комбинации ?1F1 ?2F2. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых - совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей - одномерным многообразием плоскостей).
Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M1, M2, M3, M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M1, M2, M3, M4.
Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую F1 распадающуюся на пару прямых d1 и d?1, и кривую F2, распадающуюся на прямые d2 и d?2 . Многочлены F1(х, у) и F2(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым d1 и d?1, d2 и d?2. Распадающиеся линии F1 и F2, очевидно, проходят через точки M1, M2, M3, M4 т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение ?1:?2 из условия, чтобы кривая ?1F1 ?2F2 проходила через точку M5 = (х5, у5), этим условием является равенство (13), из которого находим ?1:?2 = - F2 (х5, y5) : F1(x5, у5).
4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка
Теорема 3. Два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число ??0 .
Как н в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z), имеющие одно и то же нулевое многообразие CF1 = CF2 =C, пропорциональны между собою.
Рассмотрим поверхности
F1(x, у, z)=0 (14) и F2(х, y, z)=0 (15)
Берем какое-нибудь направление {?: ?: ?}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).
Диаметральная плоскость ? поверхности (14), сопряженная направлению {?: ?: ?}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.
Возьмем теперь систему координат O"x"y"z", ось z" которой имеет направление {?: ?: ?}, а две другие оси лежат в плоскости ?. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид
Здесь a?33 ? 0 (и b?33 ? 0), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z", удовлетворяя уравнению ??1(x?, у?, z?)= a?11x? 2 2a?12x?y? a?22y? 2 a?33z? 2 = 0 , был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) - вопреки нашим предположениям.
Нам надо доказать пропорциональность многочленов F1(x, у, z) и F2(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F?1(x?, у?, z?) и F?2(x?, у?, z?). Для этого обозначим через С0 пересечение множества С с плоскостью z" = 0. Множество С0 есть множество всех точек плоскости О"х"у", в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f?1(x?, y?), f?2(x?, y?). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О"х"у") нулевое многообразие каждого из этих многочленов.
Возможны следующие случаи: 1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f?1(x?, y?)=0, f?2(x?, y?)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f?1(x?, y?), f?2(x?, y?) тождественно равен отличной от нуля постоянной а"0, соответственно b0"„.
2° Множество совпадает со всей плоскостью О"х"у". Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f?1(x?, y?), f?2(x?, y?) тождественно равен нулю.
3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С0 есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О"х"у" каждым из уравнений f?1(x?, y?)=0, f?2(x?, y?)=0 . (18)
В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем f?2(x?, y?) = ? f?1(x?, y?) при некотором ??0. Полагая ?=z?33 : a?33 (что возможно, так как a?33?0 ), можем написать
F?1(x?, у?, z?) = a?33z? 2 f?1(x?, y?), F?2(x?, у?, z?) =? a?33z? 2 ? f?2(x?, y?), Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F?1(x?, у?, z?) и F?2(x?, у?, z?), надо только показать, что ? = ?.. Так как многочлен f?1(x?, y?), не равен тождественно постоянной, то существуют значения x?=x?1, у" = у"1, для которых f?1(x?1, у"1). Найдя такие значения, решаем относительно z" уравнение
F?1(x?1, у?1, z?1) = a?33z? 2 1 = 0
Получаем z?1 = (1 : a?33 )0,5. Итак, точка M1 = (x?1, у?1, z?1) принадлежит множеству С. Следовательно, F?2(x?1, у?1, z?1) = ?a?33(1 : a?33) ? 1 = 0 , т. е. ? = ?.
Итак, в случае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем
