Решения типа ударных волн с угловыми точками на фронте, стабилизирующая функция. Способы задания сглаженных ударных волн. Скорость движения угловой точки на фронте, задача Коши, численный эксперимент. Скорость распространения плоской ударной волны.
Условия Гюгонио в классическом варианте выписываются, когда множество точек, в которых происходит разрыв первого рода, является гладкой линией (гладким подмногообразием ). Если же это подмногообразие негладкое, то есть содержит угловые точки, то задача описания распространения разрыва сильно усложняется. Фактически в этом случае речь идет о совместном распространении двух (или более) ударных волн, отвечающих гладким частям подмногообразие, на котором происходит скачок. В этой работе использован подход, основанный на применении алгебр Коломбо, однако условия Ренкина-Гюгонио в случае негладкого подмногообразия, на котором происходит скачок, в работе [1] не построены. Условия Коши при этом имеют вид характеристической функции области с углом, причем это начальное условие удовлетворяет условиям устойчивости Лакса-Олейник на скачке.Введем гладкую функцию , определяющую разрыв в момент , следующим образом -, В нашем случае , поэтому пусть , (1 ) здесь - неизвестная функция. Если - нормальная составляющая скорости точки на тогда , (2 ) причем знак отвечает тому случаю, в котором ее направление совпадает с направлением вектора . С другой стороны, направление вектора совпадает с направлением, в котором функция возрастает, то есть обращено вовнутрь (следовательно, ввиду формулы Предыдущие рассуждения позволяют нам выбрать знак в формуле (2 ), используя заданное нормальное направление либо известные свойства решения. Чтобы доказать это утверждение, заметим, что расстояние от точки до гладкой кривой может быть вычислено как минимальное расстояние между точкой и такими точками , что , (3 ) где - нормаль кривой в точке .Численное решение задачи проводится следующим образом: вводятся параметры задачи (размеры сетки, шаг по времени), заводятся два (в данном случае двумерных) массива для хранения верхнего и нижнего слоев схемы, задается начальное условие; сам расчет производят в цикле, где значение на верхнем слое вычисляется непосредственно через значения на нижнем, т.е. по явной схеме, ; В нашем случае мы производим сужение области вычислений, записывая нулевые значения в узлы, оказывающиеся вне нее. int IN = N; /*Область уменьшается с каждым шагом по времени, уменьшаем область*/ i0 ; На рисунке черный периметр окружает область, начального массива, красный - область, актуальную для счета на данный момент. Для поиска вершины вводится функция find_vertex (в ней vertex_flag порог, выше которого точка считается достигнутой, соответственно максимальная из этих точек находится на фронте; jv хранит в себе вершину на предыдущей итерации) float find_vertex(float**u, int N, float hx, float vertex_flag, int* jv)Приложим вычисление при углах на промежуткеОсновным результатом работы является тот факт, что скорость движения угловой точки решения такой задачи Коши, не зависит от величины угла и совпадает со скоростью распространения плоской ударной волны.
План
Содержание
Введение
1. Решения типа ударных волн с угловыми точками на фронте
1.1 Способы задания сглаженных ударных волн
1.2 Скорость движения угловой точки на фронте
2. Численное решение задачи
2.1 Программа, комментарии
2.2 Результаты
Заключение
Библиография
Введение
Ударные волны являются важнейшим классом нелинейных гиперболических законов сохранения. Это решения с движущимися разрывами первого рода. Движения этих разрывов определяются классическими условиями Ренкина-Гюгонио. Условия Гюгонио в классическом варианте выписываются, когда множество точек, в которых происходит разрыв первого рода, является гладкой линией ( гладким подмногообразием ). Если же это подмногообразие негладкое, то есть содержит угловые точки, то задача описания распространения разрыва сильно усложняется. Фактически в этом случае речь идет о совместном распространении двух (или более) ударных волн, отвечающих гладким частям подмногообразие, на котором происходит скачок. Теоретически такая задача исследовалась в работах Виллареаля [1]. В этой работе использован подход, основанный на применении алгебр Коломбо, однако условия Ренкина-Гюгонио в случае негладкого подмногообразия, на котором происходит скачок, в работе [1] не построены. В данной работе мы рассматриваем пример двумерного квадратичного скалярного закона сохранения. Условия Коши при этом имеют вид характеристической функции области с углом, причем это начальное условие удовлетворяет условиям устойчивости Лакса-Олейник на скачке. В работе показано, что скорость движения угловой точки решения такой задачи Коши, не зависит от величины угла и совпадает со скоростью распространения плоской ударной волны. Этот результат подтверждается численными экспериментами. Для численных экспериментов была разработана и реализована на ЭВМ программа построения численного решения. Результаты численных экспериментов приведены в конце работы.
1. Решения типа ударных волн с угловыми точками на фронте ударный сглаженный волна
Вывод
Приложим вычисление при углах на промежутке
График в моменты график движения вершины.
Приведем также графики движения на одном рисункеОсновным результатом работы является тот факт, что скорость движения угловой точки решения такой задачи Коши, не зависит от величины угла и совпадает со скоростью распространения плоской ударной волны. Полученный результат может быть распространен на системы квадратичных гиперболических законов сохранения.
Список литературы
[1] - Villareal F. - Generalized Heaviside functions in the Colombeau context, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2012 (2012), No. 87, pp. 1-20. ISSN: 1072-6691.
[2] - Danilov V.G., A new definition of weak solutions of semilinear equations with a small parameter, Uspekhi Mat. Nauk 51 (1997), no. 5, 184 (Russian), translated in Russian Math. Surveys.
[3] - Colombeau J.F. - Multiplication of distributions, a tool in mathematics, numerical engineering and theoretical physics, Springer-Verlag Heidelberg, 1992.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
