Изучение основных вопросов теории графов и области ее применения на практике. Разработка алгоритма кластеризации по предельному расстоянию и построение минимального остовного дерева каждого кластера. Результаты тестирований работы данного алгоритма.
При низкой оригинальности работы "Двумерная кластеризая по предельному расстоянию. Дискретная математика", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Часто бывает полезно и наглядно изображать некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые вершины. Взвешенный граф - граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое значение (вес ребра). Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом). Подграф исходного графа - граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им ребер.При рассмотрении данной задачи был изучен один из разделов теории графов кластеризация и построение минимального остовного дерева по алгоритму Краскала.
Введение
Часто бывает полезно и наглядно изображать некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые вершины. Такие изображения получили названия графа.
Теория графов получила широкое применение на практике. Она применяется в гражданском строительстве, электротехнике, социологии и экономике и в других областях.
Одной из задач теории графов является кластеризация и построение минимального остовного дерева. Эти задачи часто возникают на практике: при группировке результатов поиска, проектировании компьютерных систем, соединении городов, составлении электрических цепей.
Целью данной работы является разработка алгоритма, выполняющего данные задачи.
Отчет содержит четыре раздела: - постановка задачи курсового проектирования - это раздел, в котором описывается задача курсового проекта;
- схемы алгоритмов - это раздел, в котором описывается алгоритм и его схема;
- теоретический анализ - теория, необходимая для выполнения поставленной задачи;
- результаты тестирования - это раздел, в котором описываются результаты тестирований на правильность работы разработанного алгоритма.
1 Постановка задачи курсового проектирования
Реализовать алгоритм кластеризации заданного набора точек по предельному расстоянию d. После кластеризации граф каждого кластера редуцировать до минимального остовного дерева.
2 Теоретический анализ
Граф G - это математический объект, состоящий из множества вершин X = {x1, x2,..., xn} и множества ребер A = {a1, a2,..., ak}.
Связный граф - такой граф, в котором между любой парой вершин существует по крайней мере один путь.
Взвешенный граф - граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое значение (вес ребра).
Вес ребра - значение, поставленное в соответствие данному ребру взвешенного графа. Обычно вес - вещественное число и его можно интерпретировать как «длину» ребра.
Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Ребра ориентированного графа называются дугами. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом).
Подграф исходного графа - граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им ребер.
Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) - это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента ai j равно числу ребер из i-й вершины графа в j-ю вершину.
Матрица смежности простого графа является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.
Кластерный анализ - задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались.
Кластер - группа элементов, характеризуемых общим свойством.
В данном случае в кластеры объединяются точки, находящиеся на расстоянии меньше предельного d.
Лес - неориентированный граф без циклов. Компонентами связности леса являются деревья.
Дерево - это связный граф, не содержащий циклов.
Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в связанном, взвешенном, неориентированном графе - это остовное дерево, имеющее минимальный возможный вес. Вес дерева - сумма весов входящих в него ребер.
В данном курсовом проекте для построения минимального остовного дерева используется алгоритм Краскала. Ребра графа упорядочиваются в порядке не убывания их весов и последовательно добавляются к графу. Если добавление нового ребра приведет к образованию цикла, то это ребро пропускается. Подграф данного графа, содержащий все его вершины и найденное множество ребер, является его остовным лесом минимального веса.
3 Схемы основных алгоритмов
3.1 Пошаговый алгоритм
Шаг 1. Заполнение матрицы весов T.
Шаг 2. Создание матрицы смежности С.
Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.
Шаг 2б. Повторение шага 2 N раз;
Шаг 3. Создание матрицы минимального остовного дерева ТТ;
Шаг 3а. Если ttii = 0, ttjj = 0, то ttij = tij, ttii = k, ttjj = k, k = k 1, где tij - минимальный положительный элемент матрицы T;
Шаг 3б. Если ttii = 0, ttjj ? 0, то ttij = tij, ttii = ttjj;
Шаг 3д. Если ttii ? 0, ttjj = 0,то ttij = tij, ttjj = ttii;
Шаг 3е. Если ttii ? 0, ttjj ? 0, ttii ? ttjj ,то ttij = tij, ttii = l, ttjj = l, где l - наименьшее из ttii и ttjj;
Шаг 3ж. Если ttii ? 0, ttjj ? 0, ttii = ttjj, то tij = -1;
Шаг 4. Проверка диагональных элементов матрицы ТТ;
Шаг 4б. Если ttzz = 1, то повторить шаг 4. Иначе m = 0;
Шаг 5. Повторять алгоритм с шага 3 до тех пор, пока m ? 1;
3.2 Схема алгоритма.
Решение данной задачи состоит из нескольких этапов: кластеризации и построения минимального остовного дерева. Схемы этих алгоритмов, изображены на рисунках 2 - 4. Общая схема алгоритма изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Схема основного алгоритма
Рисунок 2 - Алгоритм кластеризации
Рисунок 3 - Алгоритм построения минимального остовного дерева
Рисунок 4 - Алгоритм построения минимального остовного дерева (продолжение)
4 Результаты тестирования
Было проведено 3 различных эксперимента.
4.1 Тест первый.
Пусть граф содержит 8 вершин, координаты которых заданы случайным образом, а взвешенная матрица Т представлена на рисунке 5. Предельное расстояние d = 5;
Рисунок 5 - Тест первый (часть 1)
Шаг 1. Обнуление матрицы дерева ТТ.
Шаг 2. Составляем матрицу смежности С.
Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.
Шаг 2б. Повторение шага 2 8 раз. Полученная в результате матрица смежности представлена на рисунке 6.
Рисунок 6 - Тест первый (часть 2)
Шаг 3. Составляем матрицу дерева ТТ.
Шаг 3а. Первоначально в матрице на главной диагонали все нули, значит tt11 = tt22 = ... = tt88 = 0, k = 1;
Шаг 3б. Находим минимальный элемент матрицы Т - t12 = 0,5. Включаем данное ребро в матрицу ТТ и увеличиваем значение счетчика k = k 1 = 2;
Шаг 3г. Находим следующий минимальный элемент и повторяем все действия из шага 3б. Таким образом перебираем всю матрицу.
Шаг 4. На главной диагонали матрицы ТТ находятся все 1. Полученная матрица представлена на рисунке 7.
Рисунок 7 - Тест первый (часть 3)
4.1 Тест второй.
Результат выполнения алгоритма с 20-ю вершинами, заданными случайными координатами и предельным расстоянием равным 2,5 представлен на рисунке 8.
Рисунок 8 - Тест второй (часть 1)
На данном рисунке видно, что граф был разбит на 8 кластеров. Увеличим предельное расстояние до 3. Из рисунка 9 видно, что количество кластеров сократилось до 4.
Рисунок 9 - Тест первый (часть 2)
Продолжая постепенно увеличивать предельное расстояние, увидим, что в итоге граф будет представлять собой один кластер. Минимальное остовное дерево этого кластера представлено на рисунке 10.
Рисунок 10 - Тест первый (часть 3)
Из этого теста видно, что с увеличением предельного расстояния количество кластеров уменьшается. Минимальное остовное дерево строится верно. Значит, в данном тесте программа работает верно.
4.3 Тест третий
Составим граф из 7 вершин, координаты которых и предельное расстояние представлены на рисунке 11.
Рисунок 11 - Тест второй (часть 1)
Построим данный граф. Остовное дерево данного графа, а так же матрицы смежности, расстояний и остовного дерева представлены на рисунке 12.
Рисунок 12 - Тест второй (часть 2)
Вывод
При рассмотрении данной задачи был изучен один из разделов теории графов кластеризация и построение минимального остовного дерева по алгоритму Краскала.
Результатом курсового проекта является алгоритм, выполняющий необходимые задачи.
