Векторы и основные линейные операции над ними. Понятие о скалярной величине, сложение и вычитание. Векторное произведение: понятие, свойства, особенности определения. Пример вычисления двойного векторного произведения. Доказательство тождества Лагранжа.
Аннотация к работе
Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением.В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название - «скалярная») - площадь, объем, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила). Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка , и направлением, совпадающим с направлением луча (рис. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы и называют равными, если совпадают их длины и направления. Векторы и называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны.Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан некоторый вектор (), то всегда можно подобрать множитель , такой, чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Тогда , и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору , или ортом вектора . Суммой векторов и , расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора , называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора . А именно: суммой называют вектор , проведенный из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора , начало вектора совпадает с концом вектора и т.д.Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор , который удовлетворяет трем условиям: 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом . Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => .Двойным векторным произведением трех ненулевых векторов , и называется ; если хотя бы один из векторов , или равен нулю, то . Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е. вектор скаляр произведение тождество Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное векторное произведение . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны. Действительно: т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и .Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.
План
Оглавление
Введение
Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними
1.1 Векторные величины
1.2 Единичный вектор
Глава 2. Векторное произведение и его свойства
2.1 Определение векторного произведения
Глава 3. Двойное векторное произведение
Заключения
Список используемой литературы
Введение
При изучении двойного векторного произведения необходимо знание вектора и основные линейные операции над ними.
Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением. Над векторми производяться действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.
Двойным векторным произведением называеться выражение вида: Двойное векторное произведение есть вектор, комплонарный с векторами b и c; оно выражаеться через векторы b и c следующим образом:
Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними
Вывод
Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.
Список литературы
1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968-912 с.
2. Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1971 - 328 с.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.: ТЕТРАСИСТЕМС, 1999- 640 с.
4. Мусхелишвили Н.И., Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967- 655 с.