Векторы и основные линейные операции над ними. Понятие о скалярной величине, сложение и вычитание. Векторное произведение: понятие, свойства, особенности определения. Пример вычисления двойного векторного произведения. Доказательство тождества Лагранжа.
Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением.В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название - «скалярная») - площадь, объем, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила). Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка , и направлением, совпадающим с направлением луча (рис. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы и называют равными, если совпадают их длины и направления. Векторы и называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны.Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан некоторый вектор (), то всегда можно подобрать множитель , такой, чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Тогда , и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору , или ортом вектора . Суммой векторов и , расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора , называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора . А именно: суммой называют вектор , проведенный из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора , начало вектора совпадает с концом вектора и т.д.Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор , который удовлетворяет трем условиям: 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом . Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => .Двойным векторным произведением трех ненулевых векторов , и называется ; если хотя бы один из векторов , или равен нулю, то . Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е. вектор скаляр произведение тождество Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное векторное произведение . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны. Действительно: т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и .Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.
План
Оглавление
Введение
Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними
1.1 Векторные величины
1.2 Единичный вектор
Глава 2. Векторное произведение и его свойства
2.1 Определение векторного произведения
Глава 3. Двойное векторное произведение
Заключения
Список используемой литературы
Введение
При изучении двойного векторного произведения необходимо знание вектора и основные линейные операции над ними.
Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением. Над векторми производяться действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.
Двойным векторным произведением называеться выражение вида: Двойное векторное произведение есть вектор, комплонарный с векторами b и c; оно выражаеться через векторы b и c следующим образом:
Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними
Вывод
Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.
Список литературы
1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968-912 с.
2. Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1971 - 328 с.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.: ТЕТРАСИСТЕМС, 1999- 640 с.
4. Мусхелишвили Н.И., Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967- 655 с.
Размещено на
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
