Двосторонні методи дослідження крайових задач - Автореферат

Зокрема це стосується побудови нових модифікацій двостороннього методу і їх застосування до дослідження крайових задач з відхиляючим аргументом та задач, які містять параметри в крайових умовах. Метою роботи є розробка нових модифікацій двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових та багатоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом і задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку, а також дослідження деяких проблем їх якісної теорії (існування, єдиності та знакосталості їх розвязків, тощо). Запропоновано нову конструктивну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом, доведено існування та єдиність їх розвязку, встановлено достатні умови існування знакосталих розвязків розглядуваних задач, вказано на один підхід прискорення збіжності двостороннього методу. Розроблено метод побудови двосторонніх наближень до розвязку багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, доведено існування та єдиність її розвязку, отримано достатню умову рівномірної та абсолютної збіжності побудованих послідовностей вектор-функцій до єдиного розвязку досліджуваної задачі. За допомогою побудованих модифікацій двостороннього методу досліджено задачі з параметрами у крайових умовах для випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку.(8) c) вектор-функція задовольняє в області її визначення умову Ліпшіця з матрицею , тобто виконується умова Нехай і в області існують вектор-функції нульового наближення , які задовольняють умови (10). Нехай у крайовій задачі (1) вектор-функція і в області існує така вектор-функція , яка задовольняє умови (3) - (5), що Тоді розвязок задачі (1) - (5) в області при виконанні умови задовольняють нерівності Якщо в області вектор-функція і , то для побудови двосторонніх наближень до розвязку крайової задачі (1) - (5) достатньо побудувати одну послідовність вектор-функцій згідно закону де за нульове наближення вибирається вектор-функція , яка задовольняє умови 2. існує така вектор-функція , що а) б) для довільних з простору вектор-функцій , які задовольняють нерівності виконується умова c) вектор-функція задовольняє в області її визначення умову Ліпшіця з матрицею , тобто для всяких вектор-функцій виконується умоваЗапропоновано нову модифікацію методу побудови двосторонніх наближень до розвязку двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. В порівнянні з раніше відомими результатами, в даному напрямку значно розширено клас двоточкових крайових задач, до яких може бути застосована розроблена модифікація двостороннього методу. Побудовано двосторонній метод дослідження та наближеного інтегрування багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, отримано достатню умову існування та єдиності її розвязку, доведено теорему про диференціальні нерівності і дано практичний метод побудови вектор-функцій нульового наближення. Для дослідження і наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу, вказано на один підхід прискорення їх збіжності. Встановлено достатні умови існування та єдиності розвязку досліджуваних задач при різних крайових умовах, доведено теореми про диференціальні нерівності.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Запропоновано нову модифікацію методу побудови двосторонніх наближень до розвязку двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та знакосталості їх розвязків, вказано на один підхід прискорення збіжності побудованого двостороннього методу.

В порівнянні з раніше відомими результатами, в даному напрямку значно розширено клас двоточкових крайових задач, до яких може бути застосована розроблена модифікація двостороннього методу.

Побудовано двосторонній метод дослідження та наближеного інтегрування багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, отримано достатню умову існування та єдиності її розвязку, доведено теорему про диференціальні нерівності і дано практичний метод побудови вектор-функцій нульового наближення.

Для дослідження і наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Встановлено достатні умови існування та єдиності розвязку досліджуваних задач при різних крайових умовах, доведено теореми про диференціальні нерівності.

Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розвязання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.

список опублікованих праць

Маринець, В. В. Про один підхід дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю Питьовка // Нелінійні коливання. - 2008. - Т. 11, № 3. - С. 348-364.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 92-98.

Питьовка, О. Ю. Про один підхід прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. Вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2008. - Вип. 16. - С. 135-145.

Pytovka, O. A modified two-sided approximation method for a four-point Vallee-Poussin type problem [Text] / O. Pytovka // Miskolc Mathematical Notes - 2008 - Vol. 9, № 2. - P. 137-146.

Маринець, В. В. Про один підхід дослідження двоточкових крайових задач [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2002. - Вип. 7. - С. 69-75.

Маринець, В. В. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметром [Текст] / В. В. Маринець, Т. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 32-44.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2005. - Вип. 10-11. - С. 70-76.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Науковий вісник Мукачівського технологічного інституту. - 2006. - № 2. - С. 23-31.

Маринець, В. В. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», (18-23 вересня 2006 р., Ужгород) : Тез. доп. - Ін-т математики НАН України, 2006. - С. 68-69.

Маринець, В. В. Прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування», (16-21 червня 2008р., Мелітополь) : Тез. доп. - Мелітополь, 2008. - С. 78-79.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметрами в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Праці міжнар. конф. «Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)», присвяченої памяті академіка В.С.Михалевича, (19-23 вересня 2005 р., смт.Кацивелі Крим) - К., Інститут імені В. М. Глушкова НАН України, 2005. - С. 139.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. конф., присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, (6-9 червня 2005 р.) : Тез. доп. - К., 2005. - С. 67.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // ХІІ Міжнар. науково-практ. конф. «ХХІ століття: Наука. Технологія. Освіта.», (31 травня-1 червня 2007 р., Мукачево) : Тез. доп. - Мукачево, 2007. - С. 389-390.

анотація диференціальний інтегрування квазілінійний двоточковий

Питьовка О.Ю. Двосторонні методи дослідження крайових задач. - Рукопис. Дисертація на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02. - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Робота присвячена розробці нових конструктивних модифікацій двостороннього методу дослідження двоточкових, багатоточкових крайових задач та задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Запропоновано нову конструктивну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових та багатоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та єдиності їх розвязків, доведено теореми про диференціальні нерівності.

У роботі також побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу для дослідження та наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Ключові слова: двосторонній альтернуючий метод, двосторонній монотонний метод, двоточкова крайова задача, задача Валле-Пуссена, крайова задача з параметрами, диференціальні нерівності, система квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом.

аннотация

Питевка О.Ю. Двусторонние методы исследования краевых задач. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Разные процессы и проблемы теории автоматического регулирования, телемеханики, электротехники, автоматики, теоретической кибернетики, биологии, медицины, экономики можно описать с помощью дифференциальных, интегральных та интегродифференциальных уравнений.

Поскольку большинство из них точно проинтегрировать невозможно, то актуальным становится вопрос о нахождении их приближенного решения. В связи с этим приближенные методы исследования задач теории дифференциальных уравнений, в том числе и конструктивные, составляют важный раздел современного прикладного анализа. К конструктивным методам принадлежит и двусторонний метод, идею которого предложил академик С.А. Чаплыгин еще в 1919 году.

Несмотря на большое количество работ, в которых обобщаются идеи С.А.Чаплыгина и его последователей, в данном направлении существует еще много нерешенных проблем. Важным вопросом является построение новых модификаций двустороннего метода, с помощью которых проводится исследование краевых задач с отклоняющимся аргументом и задач с параметрами в краевых условиях для систем квазилинейных дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные в диссертационной работе, дополняют совокупность конструктивных методов исследования этого класса задач.

В работе рассматривается новая модификация построения двусторонних приближений к решению двухточечной краевой задачи на случай систем квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Установлены достаточные условия существования и единственности их решений, доказаны теоремы о дифференциальных неравенствах.

Также разработан метод построения двусторонних приближений к решению многоточечной краевой задачи Валле-Пуссена, доказано существование и единственность ее решения, получены условия абсолютной и равномерной сходимости построенных последовательностей вектор-функций к единственному решению исследуемой задачи.

Для исследования и приближенного интегрирования задач с параметрами в неразделенных двухточечных краевых условиях на случай системы квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка построены и обоснованы новые модификации монотонного двустороннего метода, указано на один подход ускорения их сходимости. Установлены достаточные условия существования и единственности их решений при разных краевых условиях.

Теоретические разработки проиллюстрировано на примерах.

Результаты проведенных исследований могут быть использованы для решения конкретных прикладных задач, математическими моделями которых являются нелинейные краевые задачи.

Ключевые слова: двусторонний альтернирующий метод, двусторонний монотонный метод, двухточечная краевая задача, задача Валле-Пуссена, краевая задача с параметрами, дифференциальные неравенства, система квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

abstract

Pytovka O. Two-sided method investigation of the boundary-value problems -Manuskript. The thesis for obtaining the Candidates of Physical and Mathematical Sciences degree by specialty 01.01.02 - Differential Equations. Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2009.

This work is devoted to elaboration of new structural modifications of the two-sided method of investigation of the two-point and multipoint boundary-value problems as well as problems with parameters in boundary conditions in the case of systems of nonlinear differential equations. New modification of the method of construction of two-sided approximations to solution of two-sided boundary-value problems and multipoint boundary-value problem of the de la Vallee-Poussin type in the case of systems of quasilinear differential equations with the argument deviation is proposed in the work. Sufficient conditions of existence and identity of their solutions are established.

New modifications of the two-sided monotonic method for investigation and approximate integration of problems with parameters in undivided two-sided boundary conditions in the case of systems of quasilinear second-order differential equations are constructed and proved. An approach to acceleration of their convergence is presented.

Key words: two-sided alternative method, two-sided monotonic method, two-point boundary-value problem, problem of de la Vallee-Poussins type, boundary-value problem with parameters, differential equations, system of quasilinear differential equations with the argument deviation.

Размещено на .ru