Дослідження вироджених випадків у теорії збурень коізотропних інваріантних торгів гамільтонових систем - Автореферат

Колмогорова щодо поєднання асимптотичних методів послідовних замін змінних з методом прискореної збіжності ньютонівського типу відкрила широкі перспективи для одержання строгих результатів про збереження квазіперіодичних рухів та інваріантних торів інтегровних гамільтонових систем при малих збуреннях функції Гамільтона та лягла в основу нового напрямку досліджень, який в сучасній літературі дістав назву КАМ-теорії (теорії Колмогорова-Арнольда-Мозера). Основоположний результат цієї теорії - теорема Колмогорова, анонсована у 1954 році, - стверджує, що за умови функціональної незалежності частот квазіперіодичних рухів аналітичної інтегровної за Ліувіллем гамільтонової системи більшість (в сенсі міри Лебега) її інваріантних торів під впливом малих збурень функції Гамільтона не руйнуються, а лише зазнають малих деформацій. Арнольд навів повне доведення цитованої вище теореми, розповсюдив її на системи з виродженнями, навів важливі приклади застосувань у класичній і небесній механіці. Велика кількість робіт була присвячена вдосконаленню техніки, яка застосовується при доведенні КАМ-теорем; розвитку нових напрямів і підходів, серед яких відзначимо: результати Пошеля про вкладення лагранжевих інваріантних торів в гладку в сенсі Вітні сімю, модифікований метод штучних параметрів Севрюка-Ермана, встановлення нових умов невиродженості гамільтонових систем Рюссманом та Брюно, прямі методи побудови інваріантних торів та квазіперіодичних розвязків у вигляді збіжних степеневих рядів, дослідження поведінки траєкторій у щілинах між колмогоровськими торами, варіаційний метод Персіваля, зясування механізмів руйнування інваріантних торів та розвиток ренормалізаційних методів, розповсюдження КАМ-теорії на нелінійні рівняння в частинних похідних, дослідження методами КАМ-теорії нескінченновимірних гамільтонових систем. Вивчення некласичного випадку, коли фазовий простір незбуреної гамільтонової системи розшаровується коізотропними інваріантними торами (і, отже, розмірність таких торів перевищує половину розмірності фазового простору), було розпочато в роботах І.О.У підрозділі 2.1 модифікацію методу штучних параметрів Севрюка-Ермана поширено на випадок, коли незбурена гамільтонова система з гамільтоніаном має сімю r-вимірних коізотропних інваріантних торів, залежну від q-вимірного параметра. Припускається, що в деякому околі фіксованого інваріантного тора, для визначеності - тора, існують координати прямого добутку типу “дія-кут” такі, що сімя описується рівнянням вигляду, причому а незбурений рух на торі квазіперіодичний і визначається системою. Припущення 2.1.2 Матриця задовольняє умову сильної нерезонансності: існує число таке, що, де - позначення стандартного скалярного добутку,, - j-ий стовпець. Припущення А) Функція має вигляд, де - деяка-значна функція параметра u. Нехай справджуються Припущення 2.1.1 - 2.1.4 та Припущення А), В), С) і для деякого функції, - дійсно-аналітичні в області, а компоненти функцій - лінійно незалежні функції в U.Завдяки попередній нормалізації незбуреної функції Гамільтона в околі сімї вироджених коізотропних інваріантних торів відповідної гамільтонової системи, встановлено нові достатні умови, що гарантують існування близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів збуреної системи. Шляхом розповсюдження на вироджений коізотропний випадок техніки Пошеля та методу штучних параметрів у модифікації Севрюка-Ермана доведено, що множина торів збуреної системи утворює гладку в сенсі Вітні сімю, і її можна описати за допомогою системи нерівностей, які виникають у теорії діофантових наближень на гладких підмноговидах евклідового простору. На основі описаного у підрозділі 2.1 підходу побудовано гладку в сенсі Вітні сімю близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів, яка виникає поблизу многовиду квазістаціонарних точок еліптичного типу внаслідок збурення як гамільтоніана, так і симплектичної структури цілком інтегровної в сенсі Ліувілля системи. Доведено, що при порушенні маловимірних торичних непуассонових симетрій інтегровної гамільтонової системи в околі многовиду еліптичних інваріантних торів усередненої системи першого наближення виникає гладка в сенсі Вітні сімя коізотропних інваріантних торів системи зі збуреним гамільтоніаном. Показано, що при виконанні певних умов нерезонансності в малому околі еліптичної квазістаціонарної точки неавтономної гамільтонової системи з швидко осцилюючим квазіперіодичним гамільтоніаном існує канторова множина, в точках якої починаються квазіперіодичні розвязки цієї системи.

2. основний зміст

Завдяки попередній нормалізації незбуреної функції Гамільтона в околі сімї вироджених коізотропних інваріантних торів відповідної гамільтонової системи, встановлено нові достатні умови, що гарантують існування близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів збуреної системи. Шляхом розповсюдження на вироджений коізотропний випадок техніки Пошеля та методу штучних параметрів у модифікації Севрюка-Ермана доведено, що множина торів збуреної системи утворює гладку в сенсі Вітні сімю, і її можна описати за допомогою системи нерівностей, які виникають у теорії діофантових наближень на гладких підмноговидах евклідового простору.

На основі описаного у підрозділі 2.1 підходу побудовано гладку в сенсі Вітні сімю близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів, яка виникає поблизу многовиду квазістаціонарних точок еліптичного типу внаслідок збурення як гамільтоніана, так і симплектичної структури цілком інтегровної в сенсі Ліувілля системи. Показано, що відносна міра таких торів у фазовому просторі прямує до одиниці, коли величина збурення прямує до нуля.

Доведено, що при порушенні маловимірних торичних непуассонових симетрій інтегровної гамільтонової системи в околі многовиду еліптичних інваріантних торів усередненої системи першого наближення виникає гладка в сенсі Вітні сімя коізотропних інваріантних торів системи зі збуреним гамільтоніаном. Показано, що ці тори мають майже вироджений тип; оцінено відносну міру Лебега утвореної ними множини.

Показано, що при виконанні певних умов нерезонансності в малому околі еліптичної квазістаціонарної точки неавтономної гамільтонової системи з швидко осцилюючим квазіперіодичним гамільтоніаном існує канторова множина, в точках якої починаються квазіперіодичні розвязки цієї системи. Відносна міра Лебега зазначеної канторової множини прямує до одиниці, коли частоти гамільтоніана прямують до нескінченності. Цей факт дозволяє вважати еліптичну квазістаціонарну точку стійкою в метричному сенсі.

З одержаних результатів випливає, що умови невиродженості в теоремі В.І. Арнольда, яка стосується дослідження околу еліптичного положення рівноваги гамільтонової системи, можна замінити більш слабкими умовами нерезонансності, що мають вигляд деяких діофантових нерівностей.

В задачі про рух твердого тіла навколо точки закріплення, яка здійснює швидкі квазіперіодичні коливання малої амплітуди вздовж невертикальної осі, знайдено явний вигляд потенціалу вібраційних сил і виділено біфуркаційний параметр, від якого він залежить. Показано, що проходження цим параметром певного біфуркаційного значення супроводжується виникненням додаткового локального мінімуму потенціалу усередненої за часом системи. Такому мінімуму відповідає еліптичне положення рівноваги усередненої системи - квазістаціонарна точка. В околі останньої існує канторова множина точок, які породжують малі квазіперіодичні коливання досліджуваної механічної системи. Одержаний результат обгрунтовує з позицій КАМ-теорії ефекти вібраційної стабілізації, аналогічні тим, що спостерігаються в системах типу маятника Боголюбова-Капіци.

Основні результати дисертації опубліковані в працях

1. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Диференційовна за Вітні сімя коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи, близької до виродженої // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Математика. Механіка. - 2000. - вип. 4. - С. 20-29.

2. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Біфуркація гладкої в сенсі Вітні сімї коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи при малій деформації симплектичної структури // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №5. - С.610-624.

3. Кубічка А.А. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при порушенні абелевої симетрії гамільтонових систем // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. - 2001. - вип. 1. - С. 134-142.

4. Кубічка А.А. Неавтономна гамільтонова система в околі квазістаціонарної точки еліптичного типу // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. - 2002. - вип. 2. - С. 116-122.

5. Парасюк І.О., Кубічка А.А. Квазіперіодичні рухи гамільтонових систем з параметрами у випадку, близькому до виродженого // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ): Матер. конф.- Київ, 1998. - С.382-381.

6. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Диференційовна за Вітні сімя коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи, близької до виродженої // VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф. - Київ, 2000. - С.305.

7. Kubichka A.A., Parasyuk I.O. Existence of Whitney-smooth family of coisotropic invariant tori for Hamiltonian system with perturbed symplectic structure // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12-14 вересня 2000 р., Одеса): Тези доп. - Одеса: Астопринт, 2000. - С.343-344.

8. Parasyuk I.O., Kubichka A.A. Whitney differentiable family of coisotropic invariant tori of close-to-degenerate Hamiltonian system // Материалы II междунар. науч. конф. “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (Актобе, 15-19 сентября 1999г). - Актобе - 2000. - С.82-85.

9. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Неавтономна гамільтонова система в околі квазістаціонарної точки еліптичного типу // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнар. конф. Пяті Боголюбівські читання (Камянець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповідей. - Камянець-Подільський: Абетка-НОВА, 2002.

10. Кубічка А.А., Парасюк І.О., Процак Л.В. Дослідження стійкості квазістаціонарних станів твердого тіла з вібруючою точкою підвісу // Тези Міжнар. конф. “Асимтотичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (16 грудня 2002 р., Київ): - К.:НПУ імені М.П. Драгоманова, 2002. - С.56.

Размещено на .ru