Дослідження умов конвергентності для нелінійних електричних кіл - Автореферат

Ця модель повинна забезпечувати стійкість, що досліджується при лінеаризації рівнянь в околі бажаного режиму, тобто стійкість у малому. Іншими словами, вони дають лише достатні умови глобальної стійкості єдиного періодичного режиму, а насправді стійкість спостерігається у значно ширшому діапазоні зміни параметрів. У той же час, отримання загальних, чітких і ефективних критеріїв конвергентності, які були б придатними для різних систем з широким класом нелінійностей, дозволить проектувати пристрої зі значно меншим запасом по небезпечних параметрах, а також розробити ефективні засоби для усунення небажаних режимів, що вже виникли. Наведені у дисертаційній роботі результати знайшли відображення та використовувалися при виконанні держбюджетних робіт: “Синтез автоколивних і неавтономних систем, що відтворюють задані форми коливань” (2000-2002 рр.), номер держреєстрації 0100U001418; “Розробка методів та програм дослідження складних нелінійних та параметричних систем” (2003 р.), номер держреєстрації 0103U001938; а також “Теоретичні засади оптимізації режимів роботи та автоматизація проектування електротехнічних і електромеханічних систем з динамічним навантаженням” (2001-2002 рр.), номер держреєстрації 0101U000875; “Оптимізація режимів потужних електротехнологічних обєктів з неконвенційними навантаженнями на основі критеріїв електромагнітної сумісності” (2003 р.), номер держреєстрації 0103U001364. Дослідити умови появи режимів, що порушують конвергентність у нелінійній параметричній системі чисельними та аналітичними методами і отримати на основі цього відповідні узагальнення.Наведено список статей, опублікованих за темою дисертації, із зазначенням особистого внеску автора та перелік конференцій, де проводилася апробація результатів роботи. Показано звязок роботи з науковими темами, практичне значення отриманих результатів та описано структуру дисертації. У першому розділі проведено огляд відомих робіт з проблем конвергентності нелінійних систем та подано приклади розрахунків з використанням наведених у них критеріїв. Наведено визначення поняття конвергентності для електротехнічних та радіоелектронних систем: якщо X? та X?? - розвязки рівняння для будь-яких двох різних початкових умов, заданих у довільний момент часу t0, то конвергентність означає виконання умови Критерій Б.П.Демидовича накладає жорсткі обмеження на нелінійність і конвергентність при його застосуванні забезпечується лише при невеликих нелінійностях.Якщо стан рівноваги рівняння (2) стійкий, то будь-які два T-періодичні розвязки рівняння (1) з часом збігаються один до одного, тобто періодичний розвязок є єдиним. Далі у розділі проаналізовано вигляд областей нестійкості рівнянь Матьє та Хілла; методом Пуанкаре отримано області нестійкості для двох гармонік у функції збудження, а також наведено графічний вигляд областей нестійкості. Критерій (4) можна представити в іншому вигляді: де - середня частота власних коливань (тут і надалі розглядаємо безрозмірні значення усіх величин). Зважаючи на це, було поставлено задачу знайти таку форму функції збудження, яка давала б найсильніше параметричне збудження при фіксованому значенні wa. Спочатку було обчислено слід матриці монодромії для прямокутної функції збудження y: , тут t0 - частина періоду, де функція збудження набуває максимального значення .На практиці виникнення небажаних режимів може призводити до аварійних та нештатних ситуацій, пошкодження обладнання і т.п. У роботі для часткового просування у розвязанні цієї проблеми отримано ряд чисельних та аналітичних методик і підходів для дослідження умов конвергентності нелінійних систем другого порядку. На основі проведеного огляду літературних джерел встановлено, що існуючі аналітичні критерії конвергентності при застосуванні до реальних систем дають малоефективні умови конвергентності. Зважаючи на це, можна констатувати що створення нових чисельних та аналітичних критеріїв конвергентності нелінійних систем другого порядку є актуальним. Розроблено покращену методику дослідження конвергентності, що ґрунтується на зведенні проблеми конвергентності до проблеми стійкості лінійної системи з параметричним збудженням.

Основний зміст роботи

Для дослідження можливих режимів в електротехнічних та електронних пристроях переважно застосовують спрощені нелінійні моделі. За такого підходу часто не вдається виявити всі можливі режими, які можуть виникнути. На практиці виникнення небажаних режимів може призводити до аварійних та нештатних ситуацій, пошкодження обладнання і т.п. У роботі для часткового просування у розвязанні цієї проблеми отримано ряд чисельних та аналітичних методик і підходів для дослідження умов конвергентності нелінійних систем другого порядку. З метою узагальнення результатів дисертаційного дослідження та вироблення практичних пропозицій щодо їхнього використання нижче сформульовано основні висновки роботи.

1. На основі проведеного огляду літературних джерел встановлено, що існуючі аналітичні критерії конвергентності при застосуванні до реальних систем дають малоефективні умови конвергентності. Зважаючи на це, можна констатувати що створення нових чисельних та аналітичних критеріїв конвергентності нелінійних систем другого порядку є актуальним.

2. Розроблено покращену методику дослідження конвергентності, що ґрунтується на зведенні проблеми конвергентності до проблеми стійкості лінійної системи з параметричним збудженням. Накладаючи на функцію збудження параметричної системи обмеження, які випливають з властивостей вихідної нелінійної системи, можна робити висновки про стійкість стану рівноваги. У результаті отримуємо покращений критерій конвергентності (7) та умову конвергентності w>2M.

3. Доведено, що якщо функція параметричного збудження має фіксований інтеграл на періоді, то достатній критерій стійкості (4) не може бути покращеним, тобто він є одночасно і необхідним критерієм. Найсильніше параметричне збудження відповідає дельта-функції, а інші форми функції збудження дозволяють значно покращити умови стійкості.

4. На основі принципу максимуму Понтрягіна показано, що у випадку фіксованого максимального значення функції параметричного збудження, найсильніше параметричне збудження відповідає прямокутній функції з відповідною шпаруватістю.

5. Методом гармонічного балансу отримано області існування ферорезонансу при апроксимації нелінійності поліномом довільного степеня. Така апроксимація є необхідною для точнішого наближення кривої намагнічення при різних величинах насичення. Отримані області за розробленою методикою добре узгоджуються з результатами числового розрахунку.

6. На основі методу ізоклін та застосовуючи лінеаризацію диференціального рівняння системи в околі періодичного режиму показано, що процес виникнення несиметричних режимів являє собою біфуркацію Андронова-Хопфа та знайдено межу області виникнення несиметричних режимів на площині параметрів, що також дає аналітичний критерій конвергентності.

7. Показано, що для нелінійної параметричної системи методи гармонічного балансу та повільно-змінних амплітуд дають результати, які добре узгоджуються з чисельним розрахунком. З їх допомогою можна визначити амплітуди періодичних режимів ділення частоти, критичне загасання, яке усуває ці режими, а також деякі параметри квазіперіодичних режимів. Чисельний аналіз системи за методом дискретної фазової площини дозволяє виявити режими ділення частоти в цілу кількість разів, а також деякі характерні особливості точкового перетворення.

8. За допомогою прямого розрахунку мультиплікаторів для прямокутного збудження доказано, що нестійкий стан рівноваги неможливо стабілізувати введенням загасання при умові, що функція збудження є невідємною.

9. Аналітично отримано умову відсутності обертових рухів у нелінійних параметричних системах (11), що добре узгоджується з результатами чисельних розрахунків.

1. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Несиметричні коливання в нелінійному контурі з симетричною нелінійністю // Технічна електродинаміка. Тематичний випуск. Ч.4. 2003. С. 106-107.

2. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Дослідження ферорезонансу, субгармонічних і несиметричних режимів у нелінійних колах // Вісник Східноукраїнського національного університету ім.В.Даля. 2003. №6(64). С. 146-152.

3. Паранчук Р.Я., Синицкий Л.А. Об условиях конвергентности для систем второго порядка // Электронное моделирование. 2002. №5. С. 59-70.

4. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про обертові рухи в нелінійній параметричній системі // Теоретична електротехніка. 2002. Вип. 56. С. 28-31.

5. Паранчук Р.Я. Знаходження екстремального збудження для рівняння другого порядку за принципом максимуму Понтрягіна // Вісник НУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. 2002. №449. С. 160-164.

6. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про умови конвергентності для систем другого порядку. // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. 2001. №421. С. 144-149.

7. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про області нестійкості рівняння Хілла // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. 1997. №340. С. 84-91.

8. Паранчук Р.Я., Синицкий Л.А. Про синтез цифрових фільтрів Баттерворта системою з періодично змінними параметрами // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. 1999. №372. С. 144-149.

9. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Дослідження стійкості систем, що описуються рівнянням Хілла // Матеріали Міжнародної науково-технічної конференції “Сучасні проблеми засобів телекомунікації, компютерної інженерії та підготовки спеціалістів”. Львів, 1998. С. 52-53.

10. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Числовий розрахунок нелінійних параметричних систем // Тези 3-ої Міжнародної науково-технічної конференції “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці”. Львів, 1999. С. 201-202.

11. Паранчук Р.Я. Дослідження нелінійних параметричних систем // Збірник тез Всеукраїнської студентської наукової конференції з фізики. Львів, 2000. С. 27-28.

12. Паранчук Р.Я. Використання принципу максимуму Понтрягіна для знаходження екстремального збудження рівняння другого порядку // Збірник тез Всеукраїнської конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “Евріка-2002”. Львів, 2002. С. 186-187.