Оцінка поводження неавтономних динамічних систем. Отримання умов стійкості положень відносної рівноваги різних систем двох зв"язаних твердих тіл. Вплив дисипативних сил з неповною дисипацією енергії на стійкість руху консервативних механічних систем.
При низкой оригинальности работы "Дослідження стійкості неавтономних механічних систем методом Ляпунова", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Питання стійкості і оцінки поводження розвязків динамічних систем більш сторіччя знаходяться в центрі уваги численних дослідників в області математики і механіки. Універсальність цього методу обумовлена тим, що розвязання задачі стійкості можна проводити, уникая безпосереднього інтегрування рівнянь збуреного руху. Дослідження стійкості неавтономних систем можна поділити на дві групи - це системи періодичні (майже періодичні) за часом і системи з неперіодичними коефіціентами. Системи другої групи вивчалися менше, що пояснюється значним зростанням труднощів, однією з яких є неможливість застосування класичних теорем прямого методу Ляпунова при спробі адаптації відповідної методики дослідження для періодичних систем. Дослідження, представлені в дисертації, проводилися у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1996 - 2000 роки з бюджетної теми "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл" (номер держ. реєстрації 0196U002837); на 2001 - 2005 роки - з бюджетної теми "Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем і їхнє використання в динаміці системи твердих тіл" (номер держ. реєстрації 0101U0001094), які виконувалися відповідно до постанов Президії НАН України; а також у 1997 - 1998 роках у рамках проекту 1.4/155 "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем динаміки систем звязаних твердих тіл "Держ. фонду фундаментальних досліджень Міністерства України в справах науки і технологій.Він складається з огляду робіт, що стосуються стійкості неавтономних систем, рухів консервативних та дисипативних механічних систем, а також систем, на рух яких суттєво впливають коливання їх окремих частин. Припустимо, що функції a(t), c(t), f(t), (t), h(t), С , причому a(t) монотонно зростає, c, f, додатні ((0) = = c(0) = 0), і існує допоміжна функція V така, що в деякому околі початку координат виконуються умови: V(t, x) f(t) (|| x || / (t)); У випадку, коли функції f, , h тотожно дорівнюють одиниці, а c( ) монотонна, твердження Б теореми 1 співпадає з твердженням відомої теореми J.L. Крім того, згідно умові (6), у якості верхньої границі швидкості притяжіння збурених розвязків до нуля виявляється величина Якщо ж обмеження, що накладаються на функцію f a priori, дозволяють вибрати функцію (яка задовольняє обмеженням (9), (10)) так, що то функція в оцінці (6) має більш високий порядок мализни, ніж Наприклад, при (A, B - деякі сталі) можна взяти тоді теорема 3 свідчить про експоненціальну стійкість досліджуваного стану рівноваги. Відзначимо також, що у випадку система (11) стає автономною, і отримані умови стійкості і нестійкості цілком погоджуються з відомими результатами , включаючи і той факт, що відкритим залишається питання про стійкість при a b = 1 (a > 0, b > 0).Результати використано для отримання умов стійкості відносних станів рівноваги різних механічних систем. Також доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість рухів неконсервативних механічних систем с частковою дисипацією енергії. Ці результати використано для розвязання задачи пасивної стабілізації маятника, що обертається, і знаходження умов стійкості обертань симетричного твердого тіла з пружно закріпленим ротором. Доведено теореми про оцінки поведінки розвязків неавтономної динамичної системи загального вигляду з застосуванням необмеженої за часом функції Ляпунова. Знайдено умови эквіасимптотичної стійкості нульового розвязку такої системи.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Вывод
В диссертаційній работі розвязана задача узагальнення прямого методу Ляпунова для дослідження питань стійкості і оцінювання розвязків неавтономних, неперіодичних динамічених систем із застосуванням необмеженої за часом допоміжної функції. Результати використано для отримання умов стійкості відносних станів рівноваги різних механічних систем. Також доведено теореми про асимптотичну стійкість і нестійкість рухів неконсервативних механічних систем с частковою дисипацією енергії. Ці результати використано для розвязання задачи пасивної стабілізації маятника, що обертається, і знаходження умов стійкості обертань симетричного твердого тіла з пружно закріпленим ротором.
Серед основних результатів роботи відзначимо слідуючі: 1. Доведено теореми про оцінки поведінки розвязків неавтономної динамичної системи загального вигляду з застосуванням необмеженої за часом функції Ляпунова. Знайдено умови эквіасимптотичної стійкості нульового розвязку такої системи. Доведено теорему про стійкість за лінійним наближенням. Як приклад розглянуто питання асимптотичної стійкості стану рівноваги маятника с тертям, що залежить від часу. Отримані умови накладають більш слабкі обмеження у порівнянні з відомими аналогічними результатами різних авторів (R.J. Ballieu і K. Peiffer, J.L. Corne, L. Hatvani, J. Karsai і J.Graef, N. Rouche та ін.).
2. Вперше отримано умови асимптотичної стійкості и нестійкості неавтономної системи другого порядку в критичному випадку подвійного нульового кореня с двома групами розвязків. Запропонований підхід може бути основою для розповсюдження існуючого способу побудови функції Ляпунова для автономних і періодичних систем на випадок неперіодичних систем більш високого порядку.
3. Для лінійних періодичних за часом систем із малою правою частиною запропоновано ефективний алгоритм асимптотичного зображення розвязків і побудови показникової матриці.
4. Отримані результати використано для дослідження проблеми стійкості в різних системах двох сполучених твердих тіл. Так, вперше одержані умови стійкості стану відносної рівноваги дволанкового маятника з однією пружною ланкою, в якому одна із ланок маятника спрямована вниз, а інша - уверх. Вивчена ситуація є своєрідним "виворотом" відомого явища розхитування маятника, коли обидві ланки спрямовані вниз, в областях параметричного резонансу (В.М. Старжинський, В.А. Якубович та ін.). Вперше отримано умови стійкості обертань вагомого несиметричного гіроскопа на пружній основі, а також гіростата, вісь ротора якого закріплена в носії за допомогою пружного телескопічного шарніру.
5. Знайдено умови стійкості різних типів руху системи двох гіроскопів Лагранжа, що утворюють напівзамкнений ланцюг і сполучені пружним універсальним шарніром.
6. Розвязано задачу стійкості для лінійної механічної системи, що знаходиться під дією потенціальних, гіроскопічних і дисипативних (з неповною дисипацією енергії) сил. Запропонованний підхід видається більш простим і зручним для застосування, ніж аналогічний результат
Г.К. Пожарицького, оскільки дозволяє працювати з "розщепленою" системою.
7. Досліджено вплив дисипативних сил с неповною дисипацією енергії на стійкість положення відносної рівноваги консервативної механиченої системи з позиційними і циклічними координатами. Доведені теореми розповсюджують класичні результати Томсона - Тейта - Четаєва (с додаванням Сальвадорі) на випадок неповної дисипації.
8. Розвязано задачу пасивної стабілізації фізичного маятника, що обертається. Виявлено припустимі параметри стабілізуючого пристрою, які вирішують поставлену задачу.
9. Досліджено питання стійкості руху симетричного гіроскопа з пружно закріпленим ротором. Встановлено, що коливання ротора в площині, перпендикулярній до вісі обертання, можуть сприяти стабілізації руху носія.
Список литературы
1. Пузырев В.Е. Одна теорема об асимптотической устойчивости по первому приближению // Мат. физика и нелин. механика. - 1988. - Вып.10 (44). - С. 25 - 29.
2. Puzyrev V.E. On some special auxiliary functions in stability theory of motion // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. Qualitative theory of diff. equations - 53. - North Holland, 1989. - P. 531 - 544.
3. Пузырев В.Е. О движении симметричного гиростата с осциллирующим маховиком // Механика. твердого тела. - 1992. - Вып.24. - С. 92 - 95.
4. Пузырев В.Е. До питання про оцінку поведінки розвязків неавтономних систем // Український матем. журнал. - 1995. - 47, № 2. - С. 242 - 249.
5. Пузырев В.Е. Об асимптотическом поведении решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Матем. моделирование. - 1995. - 7, № 5. - С. 95.
6. Пузырев В.Е. Анализ необходимых условий устойчивости равномерных вращений гироскопа Лагранжа с колеблющимся ротором // Механика твердого тела. - 1995. - Вып. 27. - С. 49 - 54.
7. Пузырев В.Е. К устойчивости по Ляпунову неавтономной системы в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений // Доповіді НАН України. - 1998. - № 3. - С. 39 - 43.
8. Пузырев В.Е. Об асимптотическом представлении решений системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с малой правой частью // Механика твердого тела. - 1998. - Вып. 29. - С. 71 - 76.
9. Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений тяжелого гироскопа на упруго закрепленном основании // Механика твердого тела. -1998. - Вып. 29. - С. 106 - 110.
10. Веласко Г.Э., Пузырев В.Е. Об устойчивости движения системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Труды ИПММ НАН Украины. - 1998. - Т. 2. - С. 17 - 21.
11. Пузырев В.Е. Об устойчивости движения одной механической системы с упругой связью // Механика твердого тела. - 1999. - Вып. 26 (1). - С. 49 - 54.
12. Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений симметричного гиростата на колеблющемся основании // Механика твердого тела. - 1999. - Вып. 28. - C. 88 - 91.
13. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Об устойчивости регулярной прецессии системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. - С.169 - 176.
14. Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Об устойчивости равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела с маховиком // Труды ИПММ НАН Украины. - 2000. - Т. 5. - C. 122 - 126.
15. Пузырев В.Е. Об устойчивости положения относительного равновесия двухзвенного математического маятника переменной длины // Механика твердого тела. - 2001. - Вып. 31. - С. 90 - 95.
16. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Об устойчивости в первом приближении равномерных вращений системы двух гироскопов Лагранжа, образующих полузамкнутую цепь // Труды ИПММ НАН Украины. - 2001. - Т.7. - С. 134 - 139.
17. Пузырев В.Е. Об устойчивости стационарных движений механических систем с неполной диссипацией энергии // Механика твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 99 - 104.
19. Пузырев В.Е. Об устойчивости решения линейной автономной системы, находящейся под действием сил сопротивления с неполной диссипацией энергии // Труды ИПММ НАН Украины. - 2003. - Т. 8. - С. 101 - 105.
20. Пузырев В.Е. Влияние сил вязкого трения на устойчивость стационарных движений механических систем при наличии частичной диссипации энергии // Доповіді НАН України. - 2004. - № 8. - С. 61 - 65.
21. Пузырев В.Е. О пассивной стабилизации движения вращающегося маятника в критическом случае // Труды ИПММ НАН Украины. - 2004.-Т. 9. - С. 156 - 160.
23. Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Устойчивость положения относительного равновесия стержневой системы, содержащей вращающийся ротор // Труды ИПММ НАН Украины. - 2005. - Т. 10. - C. 151- 157.
24. Пузырев В.Е. Анализ условий устойчивости равномерных вращений тяжелого гироскопа на упруго закрепленном основании // Механика твердого тела. - 2005. - Вып. 35. - С. 124 - 127.
25. Puzyrev V.E. Use of auxiliary functions of one class in stability theory of motion. 3rd Colloquium on the Qualitative theory of diff. equations. Abstracts. - Szeged, 1988. - P. 18.
26. Puzyrev V.E. Non-uniform asymptotic stability and Liapunovs direct method. 7-th Czechoslovak Conference on Diff. Eq. and their Appl. Abstracts. - Praga, 1989. - II. - P. 30.
27. Пузырев В.Е. К устойчивости движения симметричного волчка с колеблющимся маховиком. Препринт. Ин-т прикл. мат. и мех. НАН Украины. - Донецк, 1992. - 78 c.
28. Puzyrev V.E. Liapunov direct method and solutions behaviour estimations. 8-th CZECHOSLOVAK Conference on Diff. Eq. and their Appl. Add. Abstr. - Bratislava, 1993. - P. 18.
29. Лосева Н.Н., Пузырев В.Е. Нахождение областей параметрического резонанса в задаче об устойчивости равномерных вращений симметричного гироскопа с подвижной точечной массой. Труды межд. конф. "Математика в индустрии". - Таганрог, 1998. - С. 223 - 225.
30. Пузырев В.Е. Устойчивость равномерных вращений тяжелого гироскопа на колеблющемся основании при наличии диссипативной силы. Там же. - С. 258 - 261.
31. Puzyrev V.E. Stability of non-stationary motions of mechanical systems with partial energy dissipation // 7-th Conference on dynamical systems: Theory and applications. - Lodz, Poland, December 8 - 10, 2003. - P. 375 - 382.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
