Системи аксіом евклідової геометрії. Повнота системи аксіом евклідової геометрії. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії. Незалежність системи аксіом Г. Вейля. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.
Одним з найважливіших питань, що виникають при аксіоматичному побудові науки, є питання про джерела, з яких черпаються її фундаментальні істини - аксіоми й основні поняття. Це ставило геометрію в особливе становище, викликало наполегливу роботу думки з питання про джерела геометричних знань [11,c.112]. Системою аксіом науки називається сукупність тверджень про її основні поняття, прийняті без доказу. Наприклад, в системі аксіом евклідової геометрії, сформульованої Гільбертом, аксіому паралельну можна замінити еквівалентним їй пятим постулатом Евкліда, аксіому Дедекинда пропозиціями Архімеда і Кантора. Щоб вибрану сукупність аксіом можна було покласти в основу побудови геометрії (або іншої науки) необхідно і достатньо, щоб ця сукупність утворювала систему аксіом, тобто була несуперечливою, незалежною і повною [17,c.134].Доведення несуперечливості системи аксіом зводиться до побудови "хоча б однієї її реалізації (інтерпретації), в якій основні поняття і аксіоми набувають конкретного змісту. Якщо існує хоча б одна така сфера конкретних речей, відношення між якими задовольняють дану аксіоматику, то несуперечливість даної системи аксіом буде такою, якою є несуперечливість обєктів теорії (науки), через які визначаються основні поняття даної системи аксіом. Погорєловим, візьмемо обєкти множини всих дійсних чисел, тобто основним поняттям і аксіомам цієї системи надамо арифметичний зміст. Прямою назвемо сукупність всіх точок, координати яких задовольняють рівняння , де . Тоді прямою, яка проходить через ці точки, буде пряма, що задається рівнянням , бо координати даних точок задовольняють це рівняння.Дві реалізації R і R "деякої теорії Т називаються ізоморфними, якщо між елементами цих реалізацій (що відповідають основним поняттям теорії Т) можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка зберігає відношення, встановлені аксіомами [14,c.94]. Припустимо супротивне: нехай всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, але система аксіом Т неповна. Тоді можна утворити дві несуперечливі системи аксіом і приєднуючи до аксіом Т аксіому або її заперечення . Нехай і - реалізації систем аксіом і . Оскільки в T має місце , має місце a , то ці реалізації не ізоморфні.Щоб довести незалежність деякої аксіоми а від інших аксіом теорії T, досить побудувати таку реалізацію R системи аксіом теорії Т в якій аксіома а не виконується. Якщо таку реалізацію вдається побудувати, то аксіома а - незалежна. Дійсно, якби аксіома а була наслідком інших аксіом, то це було б і в реалізації R, тобто в R було б справедливе твердження a, що суперечить побудові R. Позначимо через G сукупність дійсних чисел, яка містить всі раціональні числа, а також всі числа, які одержуються з раціональних чисел за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. Побудуємо тепер декартову реалізацію системи аксіом тим самим способом, що й раніше, але будемо користуватись при цьому лише числами із G.У такий же спосіб доведемо незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом евклідової геометрії. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто не може бути виведена як наслідок з інших аксіом. Згідно із загальним способом доведення незалежності аксіом нам досить побудувати таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в якій би виконувались всі аксіоми, крім аксіоми паралельних. Під точкою будемо розуміти довільну точку евклідової площини всередині одиничного круга під прямою - довільну хорду цього круга (рис.Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною. Вектором назвемо будь-яку матрицю стовпець вигляду де - довільні дійсні числи. При цьому два вектори збігаються тоді і тільки тоді, коли відповідні елементи двох матриць рівні. Добутком числа k на вектор назвемо вектор Перевірка аксіом першої, другої, третьої і четвертої груп майже тривіальна, якщо взяти за нульовий вектор матрицю-стовпчик (аксіома 1.3)б а за три лінійно незалежні вектори (аксіома 4.1) матриці стовпці Перевіримо реалізацію аксіом 1 і 2 [15,c.303].Як уже зазначалось, несуперечлива система аксіом називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи. Для доведення, наприклад, незалежності аксіом від аксіом треба побудувати нову систему аксіом де-заперечення аксіоми , і довести її несуперечливість. Якщо аксіома є наслідком аксіом то вона буде наслідком із системи , тобто в цій новій аксіоматиці аксіому можна довести як теорему. Отже, у новій аксіоматиці матимуть місце два суперечливих між собою твердження i , але тоді ця аксіоматика не буде несуперечливою [17,c.157]. При таких домовленостях всі аксіоми системи (1) виконуються, зокрема аксіома виконується тому, що в даній реалізації не виконується аксіома 4.1, оскільки будь-які три вектори лінійно залежні.Як уже зазначалося, для доведення повноти системи аксіом треба показати, що будь-які дві її реалізації і
План
ПЛАН
ВСТУП
§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)
1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії
1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії
1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини
1.4 Незалежність аксіоми паралельних
§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕЗ
