Дослідження розв’язків параметризованих задач з нелінійними крайовими умовами - Автореферат

Математичні моделі таких явищ часто зумовлюють необхідність дослідження розвязків різних типів нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Аналізуючи монографії та статті М.О.Красносельського, І.Т.Кігурадзе, О.І.Перова, А.М.Самойленка, Д.І.Мартинюка, О.А.Бойчука, М.О.Перестюка, А.Ю.Лучки, С.І.Трофімчука, В.В.Маринця, Х.Б.Келлера, Ж.Мавена, Г.М.Вайнікко, М.Квапіша, С.Станека та багатьох інших, переконуємося в існуванні різноманітних підходів до дослідження розвязків, які дають можливість вивчити питання існування і єдиності, проаналізувати осциляційні властивості, оцінити похибки, побудувати наближені розвязки. Зрозуміло, що чим складніше диференціальне рівняння і чим більш загальні крайові умови потрібно брати до уваги, тим важче піддаються конструктивному дослідженню такі задачі. Без сумніву, науковий інтерес становлять проблеми обґрунтування ефективних підходів до дослідження нелінійних крайових задач з параметрами і нелінійних багатоточкових крайових задач, поширення і подальшого розвитку конструктивних методів для дослідження їх розвязків. Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер, вони узагальнюють та доповнюють попередні дослідження в якісній теорії крайових задач та теорії чисельно-аналітичних методів.Під розвязком задачі (7)-(9), (10) на інтервалі розумітимемо неперервно-диференційовну вектор-функцію, при, і такі значення параметрів, тобто сукупність, яка в області задовольняє рівняння (7) та умови (8)-(10). Визначимо підмножину таким чином Розглядається послідовність функцій залежна від штучно введених параметрів та від параметра , який міститься в задачі (1)-( 3). 2) гранична функція, з початковим значенням заданим рівністю (13), є єдиним розвязком інтегрального рівняння тобто, є розвязком модифікованого (відносно (7)) інтегро-диференціального рівняння та задовольняє крайові умови (8), (9); Тоді сукупність задовольняє параметризовану крайову задачу з параметром (7)-(9) тоді і тільки тоді, коли триплет задовольняє систему визначальних рівнянь де задається рівністю (13), а розглядається як параметр. Якщо виконуються умови теореми 2.1.1, то для того, щоб пара, де, була розвязком заданої крайової задачі з параметром (1)-(3) необхідно і достатньо, щоб триплет задовольняв систему алгебраїчних визначальних рівнянь і пара є розвязком системи (16), параметризованої за .Результати, отримані в дисертаційній роботі, певним чином доповнюють сукупність конструктивних засобів дослідження задач із параметрами в нелінійному диференціальному рівнянні і в нелінійних крайових умовах та багатоточкових крайових задач.Запропоновано дослідження нелінійних крайових задач першого порядку з параметрами в рівнянні і умовах шляхом побудови еквівалентних їм параметризованих задач із лінійними крайовими умовами, які розглядаються разом із певною додатковою алгебраїчною системою визначальних рівнянь. Розроблено для побудови послідовних апроксимацій розвязків розглядуваних типів крайових задач модифікації чисельно-аналітичного алгоритму послідовних наближень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Результати, отримані в дисертаційній роботі, певним чином доповнюють сукупність конструктивних засобів дослідження задач із параметрами в нелінійному диференціальному рівнянні і в нелінійних крайових умовах та багатоточкових крайових задач. У дисертації наведено нове вирішення наукової проблеми, що виявляється в обґрунтуванні алгоритмів зведення розглядуваних класів задач до більш зручних щодо дослідження та розробка для них модифікацій чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.1. Запропоновано дослідження нелінійних крайових задач першого порядку з параметрами в рівнянні і умовах шляхом побудови еквівалентних їм параметризованих задач із лінійними крайовими умовами, які розглядаються разом із певною додатковою алгебраїчною системою визначальних рівнянь.

2. Обґрунтовано вивчення нелінійних багатоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за допомогою їх зведення до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію.

3. Розроблено для побудови послідовних апроксимацій розвязків розглядуваних типів крайових задач модифікації чисельно-аналітичного алгоритму послідовних наближень.

4. Встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків нелінійних параметризованих та багатоточкових крайових задач.

5. Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розвязання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.

1. Ronto M., Shchobak N. On the numerical-analytic investigation of parametrized problems with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Oscillations. - 2003. - 6, №4. - P. 482-510.

2. Ронто А.Н., Ronto M., Щобак Н.М. О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач // Нелінійні коливання. - 2004. - Т.7, №3. - P. 395-413.

3. Щобак Н.М. Про розвязність нелінійних крайових задач з параметрами // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. - 2005. - №4. - С. 106-115.

4. Ronto M., Shchobak N. On parametrized problems with nonlinear boundary conditions // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. Proc. 7th Coll. QTDE. - 2004. - №20. - Р. 1-25. - http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/7/720.html.

5. Щобак Н.М. Дослідження існування розвязків деяких нелінійних параметризованих крайових задач // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2003. - Вип. 8. - С. 141-148.

6. Щобак Н.М. Дослідження деяких нелінійних крайових задач з параметрами // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 85-99.

7. Ronto M., Shchobak N. On a nonlinear boundary value problem with parameters // Seventh Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, 14-18 July 2003: Book of abstracts. - Szeged, 2003. - Р. 45.

8. Ronto M., Shchobak N. On the investigation of some parametrized nonlinear boundary value problems // Шості Боголюбовські читання: Тез. допов. конф. Чернівці, 26-30 серп. 2003 р. - К., 2003 - С. 295.

9. Щобак Н.М. Дослідження нелінійних крайових задач з параметрами // Тези доповідей Міжнародної математичної конференції ім. В.Я. Скоробогатька. Дрогобич, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р. - Львів, 2004. - 248 с.

10. Щобак Н.М. Про дослідження деяких триточкових крайових задач з параметром // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-27 травня 2005 р. - Львів, 2005. - С. 181-182.

11. Ронто М., Щобак Н. Про деякі багатоточкові нелінійні крайові задачі з параметром // Диференціальні рівняння та їх застосування: Тези доповідей Міжнародної конференції, присвяченої 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Київ, 6-9 червня 2005 р. - Київ, 2005. - С. 94.

12. Ронто М.Й., Щобак Н.М. Параметризація багатоточкових нелінійних крайових задач // Міжнар. конф. "Питання оптиміз. обчисл. (ПОО-ХХХІІ)" присвяч. памяті акад. В.С.Михалевича, смт. Кацивелі (Крим), 19-23 вересня 2005 р. Праці конф. - К., 2005. - С.182.

Размещено на .ru