Систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами. Приклади рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, задач з геометричною інтерпретацією комплексних чисел. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тім, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системи, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня й об рішення задач із параметрами. У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, вирахування, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа. У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексної площини. Використовуються формули: Муавра й добування кореня з комплексного числа. При рішенні задач останньої частини «Комплексні числа й параметри» використовуються й закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах.Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити множину дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння Отримане вираження назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і мниму частини. Число називається дійсною частиною комплексного числа , а число - його мнимою частиною. Два комплексних числа виду й називаються рівними, якщо рівні їх дійсні й мнимі частини, тобто якщо виконуються рівності Комплексне число називається сполученим комплексному числу , якщо .Таким чином, z одночасно позначають і комплексне число, і крапку, що зображує це комплексне число. Для кожного число дорівнює відстані між крапкою й крапкою . Тому заданій умові задовольняють ті й тільки ті крапки, які лежать на окружності радіуса 1 із центром у крапці (мал. Доведіть, що якщо крапка не збігається із крапкою , то рівність задає рівняння прямої, перпендикулярної відрізку, що зєднує крапки й , і минаючої через його середину. Всі крапки , що задовольняють рівності , рівновіддалені від крапок і й тому, як це відомо з геометрії, лежать на прямій, перпендикулярної відрізку, що зєднує крапки й , і минаючої через його середину.Число r називається модулем комплексного числа z, а число ? називається аргументом цього комплексного числа й позначається Arg z. У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо ?0 - який-небудь аргумент числа z, те всі інші можна знайти по формулі Для комплексного числа аргумент і тригонометрична форма не визначаються. Формула (5), є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення ? рівняння (5) є аргументами числа z. Тому що тригонометрична форма комплексного числа має вигляд , тоді: а) У комплексному числі : .Навряд чи легко ми впораємося із цим рівнянням, якщо будемо вирішувати відносно x, уважаючи a параметром. Перш, ніж перейти до рішення задач, що містять комплексні числа й параметр, сформулюємо визначення основних понять, повязаних з рівняннями (нерівностями) з параметром. Якщо ставиться задача для кожного дійсного значення, а вирішити це рівняння відносно x, то рівняння називається рівнянням зі змінної x і параметром a. Під областю визначення рівняння з параметром а будемо розуміти всі такі системи значень х и а, при яких має сенс. Рівняння є наслідком рівняння при деякому значенні а=а0, якщо множина рішень рівняння втримується серед множини рішень рівняння .комплексне число алгебраїчне геометричне 1) Наведений систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами. 2) Наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, вирахування, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладене правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
План
Зміст
1. Введення
2. Комплексні числа (вибрані задачі)
2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до рішення рівнянь 3-й і 4-й ступеня
2.5. Комплексні числа й параметри
3. Висновок
4. Список літератури
1. Введення
Вывод
комплексне число алгебраїчне геометричне
У представленій випускній кваліфікаційній роботі отримані наступні результати.
1) Наведений систематичний виклад питання рішення задач із комплексними числами.
2) Наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, обчислення операцій додавання, вирахування, множення, ділення, операції сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладене правило добування квадратного кореня з комплексного числа.
3) Вирішені задачі, присвячені геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексної площини;
4) Розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
5) Наведені рішення деяких рівнянь 3-й і 4-й ступенів;
6) Вирішені деякі задачі утримуючі комплексні числа й параметри.
Матеріал, викладений у випускній кваліфікаційній роботі може бути використаний у навчальному процесі в курсі алгебри у вищому навчальному закладі, а також у класах з поглибленим вивчанням математики або на елективних курсах у школі.
