Дослідження інваріантних підмноговидів та їх збурень для скінченновимірних редукцій цілком інтегровних гамільтонових систем - Автореферат

Одним з актуальних напрямків сучасної теорії диференціальних рівнянь є дослідження нелінійних диференціальних рівнянь, що використовуються для опису різноманітних нелінійних явищ і процесів в техніці та природознавстві. Вивчення таких диференціальних рівнянь успішно проводиться при використанні найновіших досягнень з функціонального аналізу, нелінійної математичної фізики, диференціальної й алгебраїчної геометрії, асимптотичної теорії диференціальних рівнянь, алгебри. Як виявилось, цей підхід у випадку аналітичних слабко збурених гамільтонових систем зводиться до критерію Мельнікова трансверсального розщеплення асимпотичних сепаратрисних многовидів, а у випадку адіабатично збурених систем - до нового критерію трансверсальності, що дає достатні умови існування нерегулярної хаотичної динаміки в околі гіперболічних особливих точок і траєкторій у рамках сценарію Біркгофа-Смейла. У роботі використано методи сучасної теорії диференціальних рівнянь, симплектична теорія гамільтонових потоків, теорія Пуанкаре-Картана та теорія редукцій на інваріантні підмноговиди Новікова-Богоявленського. У дисертаційній роботі побудовано лагранжів та гамільтонів формалізми скінченновимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди афінно узгоджених бігамільтонових динамічних систем на функціональних многовидах; проаналізовано чотиривимірні локальні редукції на інваріантний підмноговид динамічної системи Кортевега-де Фріза та її звязок з канонічною гамільтоновою системою Хенона-Хейлеса; виведено формули вкладення типу Войцеховського для гамільтонової системи Хенона-Хейлеса, яка явно проінтегрована у термінах-функцій Рімана на гіпереліптичній рімановій поверхні; проаналізовано інтегровність локальної та нелокальної чотиривимірних редукцій динамічних систем Кортевега-де Фріза та Бенні-Каупа; досліджено явище трансверсального розщеплення сепаратрисних гетероклінічних многовидів в околі гіперболічних особливих точок адіабатично збуреної гамільтонової системи Хенона-Хейлеса; проведено симплектичний аналіз регулярності динаміки слабко збуреної динамічної системи Вандер Поля в околі періодичного граничного циклу;Ґрунтуючись на схемі Новікова-Богоявленського, описано симплектичну структуру локальних скінченновимірних джет редукцій на інваріантні підмноговиди вихідної динамічної системи. Для випадку, коли скінченновимірний функціональний підмноговид задається як сукупність критичних точок невиродженого функціоналу Лагранжа, тобто, де редукції описуються доведеною в дисертації теоремою. Розглядається неканонічно гамільтонова система як векторне поле на кодотичному многовиді, симплектична структура якого задається у канонічних координатах у вигляді точної 2-форми, де функції, необхідно мають таку властивість: , яка гарантує невиродженість 2-форми. Гамільтонове векторне поле називається цілком інтегровним за Ліувіллем (у квадратурах) стосовно симплектичної структури на , якщо існує рівно гладких функцій , таких, що відповідні векторні поля , де ,утворюють скінченновимірну розвязну алгебру Лі над, тобто існують такі числа , що для всіх , і на підмноговиді , розмірність алгебри Лі векторних полів є стала і дорівнює. Тоді існує система раціональних 1-форм , точних на інтегральному многовиді.Розвинуто підхід для дослідження нелокальних скінченновимірних редукцій на інваріантні підмноговиди поліноміальних динамічних систем на функціональних многовидах. Показано, що цілком інтегровна за Ліувіллем-Арнольдом гамільтонова система на неканонічно симплектичному кодотичному многовиді допускає явну побудову відповідного відображення вкладення інтегрального многовиду за допомогою алгебро-аналітичного алгоритму основаного на конструюванні та вивченні розв”язків спеціальних диференціально-алгебраїчних рівнянь типу Пікара-Фукса. Вивчено чотиривимірні цілком інтегровні за Ліувіллем-Арнольдом редукції динамічної системи Кортевега-де-Фріза, що володіють двома функціонально незалежними інволютивними поліноміально алгебраїчними інваріантами, та побудовано відповідні відображення вкладення інтегральних многовидів. Дано опис локальних скінченновимірних редукцій динамічної системи Кортевега-де-Фріза на неоднорідні інваріантні підмноговиди та встановлено умови їх гамільтоновості. Transversal splitting of the separatrix manifolds of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system//Доп.НАН України.-1996.-N11.-С.

2. Основний зміст роботи

Розвинуто підхід для дослідження нелокальних скінченновимірних редукцій на інваріантні підмноговиди поліноміальних динамічних систем на функціональних многовидах.

Показано, що цілком інтегровна за Ліувіллем-Арнольдом гамільтонова система на неканонічно симплектичному кодотичному многовиді допускає явну побудову відповідного відображення вкладення інтегрального многовиду за допомогою алгебро-аналітичного алгоритму основаного на конструюванні та вивченні розв”язків спеціальних диференціально-алгебраїчних рівнянь типу Пікара-Фукса.

Вивчено чотиривимірні цілком інтегровні за Ліувіллем-Арнольдом редукції динамічної системи Кортевега-де-Фріза, що володіють двома функціонально незалежними інволютивними поліноміально алгебраїчними інваріантами, та побудовано відповідні відображення вкладення інтегральних многовидів.

Дано опис локальних скінченновимірних редукцій динамічної системи Кортевега-де-Фріза на неоднорідні інваріантні підмноговиди та встановлено умови їх гамільтоновості. Для слабко збуреної системи Вандер Поля побудовано гамільтонове чотиривимірне розширення та встановлено його асимптотичну цілком інтегровность.

Доведено критерій трансверсального розщеплення асимптотичних лагранжевих підмноговидів для адіабатично збуреної гамільтонової системи Хенона-Хейлеса.

Основні роботи

1. A. Prykarpatsky, O. Hentosh, M. Kopych and R. Samuliak. Neumann-Bogolyubov-Rosochatius Oscillatory Dynamical Systems and their Integrability Via Dual Moment Maps. Part I// Nonl. Math. Physics,-1995-v. 2, N2.-P. 98-113.

2. Blackmore D., Prykarpatsky A.K., Prytula M.M., Kopych M.I. Transversal splitting of the separatrix manifolds of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system//Доп.НАН України.-1996.-N11.-С. 52-55.

3. M. Kopych, Y. Prykarpatsky, R. Samuliak. Adia\-batic in\-variants of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system and the structure of chaotic motion //Доп.НАН України.-1997.-N 2.-С. 32-36.

4. Kopych M.I., Basuira R., Prykarpatsky A.K. The symplectic study of motions in a perturbed Van-der-Pol dynamical system//Math.Methods and Phys.Mech.Fields.-1998.-N 4.-P. 99-106.

5. Копич М.І. Симплектичні інваріантні редукції цілком інтегровних динамічних систем на функціональних просторах та їх інтегральні підмноговиди// Нелінійні коливання.-2000.-Т.3, № 2.-С. 206-217.

6. R.V. Samuliak, A.K. Prykarpatsky, M.I. Kopych. Finite dimensional dynamical system associated with the field Dicke type model and its integrability via the dual moment map// Тези доповідей IV міжн. наук. конф. ім.ак. М. Кравчука.-Київ,-1995. - С. 216.

7. A. Prykarpatsky, M. Kopych. Adiabatic chaos in a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system// Тези доповідей V міжн. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука.-Київ,-1996. - С. 357.

8. A. Prykarpatsky, M. Prytula, M. Kopych. The study of the chaotic motion in a slowly perturbed Henon-Heiles Hamiltonian system via the geometric Poincare-Melnikov approach//Тези доповідей всеукр. конф. "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування".-Чернівці.-1996.-С. 158.

9. M. Kopych, Ya. Prykarpatsky. Adiabatic invariants of a generalized Henon-Heiles Hamiltonian system and the structure of the chaotic motion//Тези доп.наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу".-Івано-Франківськ.-1996.-С. 44.

10. Kopych M.I. Geometric structure of adiabatically perturbed separatrix manifolds of Hamiltonian system//Тези доповідей VI міжн. наук. конф. ім.ак. М. Кравчука. - Київ,-1997.-С. 217.

Размещено на .ru