Дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин складної форми за допомогою методу R-функцій - Автореферат

Це повязано з труднощами, які виникають при зведенні нелінійної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними до відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь, тобто з труднощами зведення вихідної початково-крайової задачі до задачі Коші, і подальшим дослідженням нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь. Про це свідчить багато робіт, в яких теорія R-функцій була використана для дослідження лінійних коливань пластин і пологих оболонок з різним планом, кривиною та видом крайових умов. В даній роботі вперше теорія R-функцій разом з варіаційними методами застосовується для дослідження нелінійних вільних та вимушених коливань елементів тонкостінних конструкцій, розрахунковими схемами яких є ортотропні пластини довільної геометрії при різних видах умов закріплення. Реалізація цієї мети полягає у вирішенні таких задач: розробка на базі теорії R-функцій методу переходу від початково-крайової задачі до задачі Коші у випадку довільної планформи пластини для рівнянь руху, представлених як у мішаній формі, так і у переміщеннях; побудова функціоналів і відповідних базисних функцій для розвязку послідовності лінійних задач (знаходження власних частот і власних функцій, визначення функції зусиль, розвязання системи плоских задач теорії пружності); виведення формул, які визначають коефіцієнти у системі звичайних диференціальних рівнянь для задачі Коші, при одномодовій та двохмодовій апроксимації невідомих функцій; розвязок задачі Коші для системи нелінійних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта і Бубнова-Гальоркіна; створення програмного комплексу, який реалізує запропонований метод дослідження; тестування запропонованого методу на модельних лінійних і нелінійних задачах, обґрунтування його достовірності; розвязок нових задач коливання пластин при великих амплітудах; дослідження геометрично нелінійних коливань конкретних обєктів, а саме, робочих лопаток компресорів авіадвигунів; дослідження стійкості форм нелінійних коливань ортотропних пластин складної планформи за допомогою теорії R-функцій, варіаційних методів, „обмеженого критерію стійкості за Ляпуновим” та методу Рунге-Кутта. В основу метода покладено теорію R-функцій, варіаційні методи та метод Рунге-Кутта;Значний внесок у розвиток нелінійної динаміки пластин та оболонок зробили видатні вчені-механіки із багатьох країн: В.В. Метод застосовано для двох способів постановки задачі: в переміщеннях та в мішаній формі; отримані аналітичні вирази для коефіцієнтів звичайного диференціального рівняння (у випадку одномодової апроксимації) і коефіцієнтів системи звичайних диференціальних рівнянь (при двохмодовій апроксимації). В рамках прийнятої теорії, рівняння руху пластини приймають вигляд: • у мішаній формі: • у переміщеннях: Суть запропонованого методу зводиться до наступного: функція прогину була представлена у вигляді скороченого ряду Фурє. Тим більше, що ці розвязки також бажано мати в аналітичному вигляді, оскільки вони використовуються для розвязання основного рівняння руху Сумісне використання теорії R - функцій і чисельного методу Рітця дозволяє відшукати функції в аналітичному вигляді. Після підстановки знайдених функцій у рівняння і застосування методу Бубнова-Гальоркіна отримаємо систему звичайних нелінійних диференціальних рівнянь виду але коефіцієнти ?ij (i=1,2, j=0,…,4), ?15 цієї системи є подвійними інтегралами від функцій .Розроблено новий метод дослідження динамічної поведінки елементів тонкостінних конструкцій, які моделюються ортотропними пластинами. Новизна методу полягає в тому, що система базисних функцій, яка використовується для розкладу шуканого розвязку в ряд, побудована в аналітичному вигляді за допомогою теорії R-функцій. Виконано варіаційну постановку складових лінійних задач: про вільні коливання ортотропних пластин і задач теорії пружності для двох способів завдання розвязуючих диференціальних рівнянь руху. Запропоновано новий метод дослідження стійкості форм нелінійних коливань пластин, заснований на сумісному застосуванні теорії R-фукнкцій, варіаційних методів Рітця і Бубнова-Гальоркіна, “обмеженому критерії стійкості за Ляпуновим” та методі Рунге-Кутта. Отримано нові амплітудно-частотні залежності для пластин складної планформи, які виготовлені з різних видів матеріалів, для різних способів їх закріплення; досліджено динамічну поведінку робочої лопатки з урахуванням геометричної нелінійності Розглянуто вплив періодичних навантажень, анізотропії, способів закріплення та геометрії обєкту на амплітудно-частотні характеристики.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

1. Розроблено новий метод дослідження динамічної поведінки елементів тонкостінних конструкцій, які моделюються ортотропними пластинами. Новизна методу полягає в тому, що система базисних функцій, яка використовується для розкладу шуканого розвязку в ряд, побудована в аналітичному вигляді за допомогою теорії R-функцій. Це дозволяє знаходити базисні функції практично для довільних областей і типів крайових умов.

2. Запропоновано алгоритм перетворення нелінійної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними до нелінійної системи однорідних диференціальних рівнянь відносно змінної часу. В основу алгоритма покладено одномодову та двохмодову апроксимацію шуканих функцій за допомогою базисних функцій, які співпадають з власними функціями лінійних коливань пластини.

3. Запропонований підхід реалізовано для рівнянь руху в переміщеннях, а також для рівнянь руху, записаних в мішаній формі, тобто представлених функцією прогину та функцією зусиль.

4. Виконано варіаційну постановку складових лінійних задач: про вільні коливання ортотропних пластин і задач теорії пружності для двох способів завдання розвязуючих диференціальних рівнянь руху. Побудовані відповідні структури розвязку, які задовольняють заданим крайовим умовам.

5. Запропоновано новий метод дослідження стійкості форм нелінійних коливань пластин, заснований на сумісному застосуванні теорії R-фукнкцій, варіаційних методів Рітця і Бубнова-Гальоркіна, “обмеженому критерії стійкості за Ляпуновим” та методі Рунге-Кутта.

6. Розроблений метод дослідження динамічної поведінки ортотропних пластин реалізовано в рамках системи POLE-RL. Обґрунтовано вірогідність запропонованого підходу, проведено широке тестування лінійних та нелінійних коливань пластин класичної геометрії та класичних видів крайових умов (рухомий та нерухомий шарнір та закріплення).

7. Отримано нові амплітудно-частотні залежності для пластин складної планформи, які виготовлені з різних видів матеріалів, для різних способів їх закріплення; досліджено динамічну поведінку робочої лопатки з урахуванням геометричної нелінійності Розглянуто вплив періодичних навантажень, анізотропії, способів закріплення та геометрії обєкту на амплітудно-частотні характеристики.

8. Знайдено зони стійкості та нестійкості форм коливань при зміні амплітуди та частоти періодичних навантажень для пластин різних конфігурацій та видів їх закріплення.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Курпа Л.В., Шматко Т.В., Онуфриенко О.Г. Вынужденные нелинейные колебания ортотропных пластин сложной формы// Доповіді НАН України. - 2005.-№3.-С.42-46.

2. Шматко А.В., Шматко Т.В., Онуфриенко О.Г. //Построение математической модели для исследования устойчивости первой формы нелинейных колебаний ортотропных пластин и пологих оболочек// Вестник НТУ ”ХПИ” -2004.-№20.-С.145-150.

3. Курпа Л.В., Пільгун Г.В., Онуфрієнко О.Г. Застосування методу R-функцій для дослідження нелінійних коливань пластин складної форми// Машинознавство. 2003.-№9(75).-С.3-7.

4. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Исследование геометрически нелинейных колебаний тонких пластин с помощью теории R-функций// Теоретическая и прикладная механика.-2003.-Вып. 37.-С.151-156.

5. Онуфриенко О.Г. Нелинейные свободные колебания ортотропных пластин// Вестник НТУ ”ХПИ” -2003.-№8, т.3.-С.19-24.

6. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Применение метода R-функций к задачам о свободных колебаниях консольных ортотропных пологих оболочек с заданным планом// Вестник НТУ ”ХПИ”-2002.-№9, т.8.-С.125-131.

7. Л.Курпа, О.Онуфрієнко, Т.Шматко Дослідження нелінійних коливань ортотропних пластин складної планформи за допомогою R - функцій// 7-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. - Тези доповідей. - 2005.- С. 23.

8. L.V. Kurpa, T.V. Shmatko, O.G. Onufrienko Researches of the nonlinear forced vibrations of orthotropic plates with complex form// The International Conference “Nonlinear Dynamics”.-NTU “KHPI”. -Kharkov, Ukraine. 2004.-P.108-112.

9. L.V. Kurpa, T.V. Shmatko, O.G. Onufrienko Researches of nonlinear vibrations of orthotropic plates with arbitrary form by the R-functions method// 2-nd International Conference of “Research and Education”.-2004.-Miskolc.-P.109 -114.

10. Курпа Л.В., Онуфриенко О.Г., Пильгун Г.В. Собственные колебания пологих оболочек сложной формы в плане// Труды 5-й Международной научно-технической конференции ”Физические и компьютерные технологии в природном хозяйстве”.-Харьков.-2002.-С.673-676.