Дослідження множин стійкості та нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера - Автореферат

З часом КАМ-теорія (теорія Колмогорова-Арнольда-Мозера) повністю сформувалась і знайшла своє застосування у різних задачах механіки, теорії динамічних систем, ергодичної теорії. Як наслідок, доведено низку КАМ-теорем при значно слабших умовах невиродженості досліджуваних систем, Ю.Пошелем одержано важливі результати про інтегровність гамільтонових систем на канторових множинах, М.Севрюком та М.Ерманом розроблено модифікований метод штучних параметрів, обґрунтовано прямі методи побудови інваріантних торів та квазіперіодичних розвязків у вигляді збіжних степеневих рядів за малим параметром тощо. Як відомо, для рівняння Шредінгера з періодичним потенціалом (рівняння Хілла) внутрішні точки резонансних зон збігаються з лакунами в спектрі оператора Шредінгера, визначеного на просторі . Вивчення питання про асимптотику резонансних зон рівняння Шредінгера з різними класами квазіперіодичних потенціалів було розпочато наприкінці 70-х років минулого століття у роботах Є.І.Дінабурга, Я.Г.Сіная, Є.Д. Обґрунтовуючи актуальність теми даної роботи та важливість подальшого розвитку методів дослідження квазіперіодичного рівняння Шредінгера, зокрема КАМ-методів, відзначимо, що це рівняння широко використовується у фізиці твердого тіла.Показано, як використання КАМ-методів дозволяє для потенціалів, які характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами, описувати множину значень енергії , на якій рівняння Шредінгера (1) має розвязки Флоке-Блоха, а це, в свою чергу, дає можливість оцінити розмір зон нестійкості. Будемо казати, що функція задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , якщо існує стала і для кожного знайдеться тригонометричний поліном , де , , , такий, що для всіх . Нехай в рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості Нехай в рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості Нехай у рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивостіУ дисертації досліджено метричні властивості множин стійкості, точкам яких відповідають блохівські розвязки, а також структуру резонансних множин для одновимірного стаціонарного квазіперіодичного рівняння Шредінгера та одновимірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака з малим параметром. Основні результати даної роботи такі: Синтезуючи три методи КАМ-теорії ? метод прискореної збіжності, метод Мозера аналітичного згладжування та модифікації Севрюка-Ермана методу штучних параметрів - досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами. Одержано оцінки розмірів зон нестійкості рівняння Шредінгера з аналітичним потенціалом, потенціалом у вигляді дійсного тригонометричного полінома скінченого порядку та нескінченно диференційовними потенціалами, що належать класам Жевре та Данжуа.

Основний зміст

У дисертації досліджено метричні властивості множин стійкості, точкам яких відповідають блохівські розвязки, а також структуру резонансних множин для одновимірного стаціонарного квазіперіодичного рівняння Шредінгера та одновимірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака з малим параметром. Основні результати даної роботи такі: Синтезуючи три методи КАМ-теорії ? метод прискореної збіжності, метод Мозера аналітичного згладжування та модифікації Севрюка-Ермана методу штучних параметрів - досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами. Запропонований підхід дозволяє описувати множину значень енергії, на якій рівняння має розвязки у вигляді блохівських функцій, будувати ці розвязки та визначати межі резонансних зон. Одержано оцінки розмірів зон нестійкості рівняння Шредінгера з аналітичним потенціалом, потенціалом у вигляді дійсного тригонометричного полінома скінченого порядку та нескінченно диференційовними потенціалами, що належать класам Жевре та Данжуа.

Встановлено властивість аналітичності за малим параметром меж резонансних зон для рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним (з базисом частот ) потенціалом, що відкриває шлях до побудови цих меж у вигляді збіжних розвинень. Обґрунтовано можливість неформального розповсюдження методу і результатів В.І.Арнольда побудови меж зон нестійкості для рівняння типу Матє на квазіперіодичний випадок. Зокрема показано, що за аналогією з періодичним випадком межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з вектором частот . Це у порівнянні з КАМ-методами значно полегшує процедуру визначення меж резонансних зон при розвязуванні практичних задач.

Показано, що описані в даній роботі методи досліджень квазіперіодичного рівняння Шредінгера можна використовувати для досліджень одновимірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака, а результати, одержані для рівняння Шредінгера, можуть бути відповідним чином перенесені на цю систему.

1. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. ? 2003. ? Вип 9. ? С. 18 ? 24.

2. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова розвязків Флоке-Блоха і оцінка довжин резонансних зон одновимірного рівняння Шредінгера з гладким потенціалом // Укр. мат. журн. ?2004. ? 56, №1 ? С. 3 ? 18 .

3. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонансних зон одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіодичним потенціалом // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. ? 2004. ? Вип. 1 . ? С. 87 ? 96.

4. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова границь зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з тригонометричним потенціалом //Нелінійні коливання - 2007. ? 10, №1 - С.83-92.

5. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом // Нелінійні коливання - 2007. ? 10, №2 - С. 188-203.

6. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості стаціонарного рівняння Шредінгера // Девята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука, 16 ? 19 травня 2002 року, Київ. С.61.

7. Denysenko O.M., Parasyuk I.O. Estimation of resonance zones for a one-dimensional Schrodinger equation with a smooth quasiperiodic potential // Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбівські читання”, 26 ? 30 серпня. Тези доповідей. ? Київ, 2003. С. 272.

8. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонансних зон одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіодичним потенціалом // Десята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука, 13 ? 15 травня 2004 року, Київ. С. 96.

9. Denysenko О.М. Diagram approach to instability zones construction for quasiperiodic Schrodinger equation with trigonometric potential // 6th International Algebraic Conference in Ukraine, Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007, P.58-59.