Дослідження динамічних характеристик нелінійних систем за допомогою функцій Ляпунова, інтегральних та векторних співвідношень - Автореферат

Якісне дослідження таких систем включає вивчення, наряду з іншими, питань про стійкість або нестійкість їх станів рівноваги, обмеженість їх рухів, наявність або відсутність періодичних процесів. Одними з перших до цієї проблеми звернулися Барбашин та Красовський, які довели теорему про асимптотичну стійкість в цілому положень рівноваги нелінійних автономних систем, яка використовує функцію Ляпунова, що має відємну похідну за часом і не потребує її відємної визначеності. З викладеного випливає актуальність досліджень, повязаних з подальшим узагальненням прямого методу Ляпунова, з розробкою нових методів конструювання функцій Ляпунова, а також створенням апарату для аналізу динамічних систем, який не потребує пошуку таких функцій. Мета дисертаційної роботи - узагальнення методу Ляпунова за рахунок розширення класу функцій, які застосовуються для вивчення динамічних систем, а також розробка методів їх дослідження на основі інтегральних та векторних співвідношень. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані для аналізу та синтезу систем автоматичного керування, дослідження та прогнозування процесів в екологічних системах та економіці, вивчення фізичних обєктів різної природи, тобто, для дослідження будь-яких динамічних систем, математичними моделями яких є системи звичайних диференціальних і різницевих рівнянь.Якщо існує функція V(x,t), яка допускає нескінченно велику додатню нижчу межу, і при цьому її повна похідна за часом у силу системи допускає нескінченно велику відємну нижчу межу, то рухи цієї системи обмежені при будь-яких початкових збуреннях. Якщо для системи виконуються умови теореми 2.3, а також на всій фазовій площині відсутні періодичні рухи, і початок координат - єдине положення рівноваги, то це положення рівноваги асимптотично стійке при будь-яких початкових збуреннях. Будемо казати, що траєкторії системи перетинають бічну поверхню області строго в одному напрямку, якщо виконується одна з таких умов: Для будь-якого моменту часу t0 і будь-якої точки, де, усі точки траєкторії системи (9), що проходить через точку М, будуть зовнішніми точками області, а - внутрішніми. Для будь-якого моменту часу t0 і будь-якої точки всі точки траєкторії системи (9), що проходить через точку М, будуть внутрішніми точками області , а - зовнішніми. Якщо існує деяка функція V, для якої в силу системи в області маємо , а в області в силу системи існує сектор, то початок координат для системи - нестійкий.В дисертації запропоновано узагальнення прямого методу Ляпунова за рахунок послаблення умов, що накладаються на функції Ляпунова, а також розроблені метод дослідження нестійкості на базі співвідношень векторного аналізу та критерій відсутності періодичних рухів, який використовує теорію криволінійних інтегралів. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження обмеженості рухів багатовимірних динамічних систем. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження асимптотичної стійкості станів рівноваги двовимірних динамічних систем. Спільне використання наближення степеня k системи, що досліджується, з апаратом лінійних секторів спрощує аналіз. Вдосконалені в роботі математичні моделі реальних динамічних систем більш точно відображують процеси в цих системах і, як наслідок, дозволяють отримати більш вірогідні практичні результати.

Основний зміст роботи

В дисертації запропоновано узагальнення прямого методу Ляпунова за рахунок послаблення умов, що накладаються на функції Ляпунова, а також розроблені метод дослідження нестійкості на базі співвідношень векторного аналізу та критерій відсутності періодичних рухів, який використовує теорію криволінійних інтегралів.

1. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження обмеженості рухів багатовимірних динамічних систем.

2. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження асимптотичної стійкості станів рівноваги двовимірних динамічних систем.

Запропоновано новий критерій відсутності періодичних рухів, який може застосовуватись для дослідження систем із незнаковизначеною дивергенцією.

Розроблено апарат лінійних секторів, завдяки якому питання про існування сектора зводиться до аналізу системи алгебраїчних нерівностей. Спільне використання наближення степеня k системи, що досліджується, з апаратом лінійних секторів спрощує аналіз.

5. Розроблений в роботі алгебраїчний метод дослідження нестійкості не потребує, на відміну від прямого метода Ляпунова, пошуку функцій Ляпунова.

6. Вдосконалені в роботі математичні моделі реальних динамічних систем більш точно відображують процеси в цих системах і, як наслідок, дозволяють отримати більш вірогідні практичні результати.

Перелік праць опублікованих за темою дисертації

1. Городецкий В.Г. Об ограниченности решений и асимптотических свойствах некоторых систем дифференциальных уравнений. // Украинский математический журнал. - 1994. - Т. 46, №7. - С.944- 946.

2. Городецкий В.Г. Об исследовании нелинейных неавтономных систем прямым методом Ляпунова. // Кибернетика и системный анализ. - 1996, №4. - С. 166-169.

3. Городецкий В.Г. О выявлении неустойчивости нелинейных систем методом секторов. // Проблемы управления и информатики. - 2001, №2. - С. 22-32.

4. Городецкий В.Г. Некоторые обобщения 2-го метода Ляпунова. // Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев, 1994. - С.30.

5. Городецкий В.Г. Об ограниченности решений неавтономных систем // Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев, 1995. - С.29.

6. Городецкий В.Г. Об исследовании неустойчивости решений некоторых систем методом секторов Персидского. // Матеріали 9-ї міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. 16-19 травня 2002р., Київ. - С. 252.

7. Городецкий В.Г. Ободной разновидности секторов Персидского. // Теорія еволюційних рівнянь: міжнародна конференція. Пяті Боголюбовські читання. - Камянець-Подільський, 22-24 травня 2002р. - С. 49.

8. Городецкий В.Г. Применение метода секторов Персидского для исследования систем одного класса. // 6-я Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Алушта, 8-15 сентября 2002г. - С. 51.