Дослідження багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегрованих - Автореферат

Вивчення некласичного випадку в КАМ-теорії, коли фазовий простір незбуреної гамільтонової системи розшаровується коізотропними інваріантними торами (розмірність таких торів перевищує половину розмірності фазового простору), було розпочато в роботах І.О. Парасюка. Виявилося, що ефекти виникнення коізотропних інваріантних торів можливі у випадку, коли 2-форма, що задає симплектичну структуру, не є глобально точною, а також у випадку багатозначного гамільтоніана, тобто локально гамільтонової системи. Зокрема, до останнього часу без достатньої уваги залишались: 1) питання щодо наявності загальної КАМ-теореми про збурення інваріантних торів локально гамільтонових систем, близких до інтегровних або умовно інтегровних; 2) щодо можливості розповсюдження результатів про біфуркацію канторової множини інваріантних торів гамільтонових систем при деформації симплектичної структури на випадок локально гамільтонових збурень та послаблення умови еліптичності квазістаціонарних положень досліджуваної системи до умови невиродженості; 3) щодо можливості застосування методу центрального інваріантного многовиду (метод зведення) в теорії збурень умовно інтегровних локально гамільтонових систем з незвідними інваріантними торами. У дисертації одержані такі нові результати: • сформульовано доведено загальну КАМ-теорему про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем, яка узагальнює попередні результати в теорії збурень коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем, і яку можна одночасно застосовувати для аналізу випадків як невиродженого, так і виродженого гамільтоніана незбуреної системи; • доведено КАМ-теорему про збурення локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних, яка узагальнює результати про збереження інваріантних торів локально гамільтонових систем і охоплює невирождений та вироджений випадки КАМ-теорії локально гамільтонових систем;У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень.Тоді в околі кожного інваріантного тора існують координати типу ""дія-кут"", в яких: а) кожен інваріантний тор визначається рівнянням; б) дужка Пуассона, індукована симплектичною структурою , задається рівностями; в) 1-форма системи набирає вигляду . Мета даного підрозділу полягає у обґрунтуванні результату: якщо вектор також задовольняє умову ортогональності, а функція h та її похідні за зміними y при y=0 досить малі, то існує канторова підмножина параметрів, на якій справджується твердження: поблизу тора y=const існує r-вимірний інваріантний тор локально гамільтонової системи, породженої 1-формою . Множник присутній, щоб одночасно розглядати невироджений і вироджений випадки, а поправка має бути визначена так, щоб не залежала від , гладко залежала від параметрів і локально гамільтонова система з формою на певній підмножині параметрів мала інваріантний тор, близький до тора y=0. Теорема 2.1 Для додатних чисел, існують числа та такі, що для кожного і кожного справджується твердження: якщо функція дійсно-аналітична в області, де - обмежена множина, і задовольняє в ній нерівності то існують відображення , з такими властивостями: • для кожного такого, що локально гамільтонова система з 1-формою має інваріантний тор, заданий у фазовому просторі змінних рівнянням, причому відображення - дійсно-аналітичне і потік на цьому торі квазіперіодичний з вектором базисних частот Тоді існують такі, що для будь-яких, які задовольняють умови існує таке B що і система з лагранжіаном L в Cr-околі тривимірного тора, який задається у фазовому просторі рівнянням має 3-вимірний інваріантний тор, усі рухи на якому квазіперіодичні з частотами.В роботі доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на коізотропних інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних в узагальненому сенсі. Ця теорема охоплює як невироджені, так і вироджені випадки, і дозволяє уніфікувати аналіз різних ситуацій, що виникають в теорії збурень коізотропних інваріантних торів. На відміну від глобально гамільтонового випадку для існування інваріантних торів як незбуреної, так і збуреної систем, необхідно накладати умову ортогональності на 1-форму (багатозначний гамільтоніан) як незбуреної, так і збуреної системи. Аналогічний варіант виродженого випадку КАМ-теорії має місце і при дослідженні околу квазістаціонарного положення локально гамільтонової системи, одержаної внаслідок одночасної деформації симплектичної структури і збуренні локально гамільтоновим векторним полем системи, інтегровної за Ліувіллем. Вивчено випадки, коли внаслідок такого деформування змінні дії p, асоційовані з незбуреною системою, перестають комутувати, так, що їхня матриця дужки Пуассона має вигляд {p,p}=MC і в першому випадку матриця C вироджена, а в другому - невироджена.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В даній дисертаційній роботі розглянуто задачі про дослідження багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних.

В роботі доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на коізотропних інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних в узагальненому сенсі. Ця теорема охоплює як невироджені, так і вироджені випадки, і дозволяє уніфікувати аналіз різних ситуацій, що виникають в теорії збурень коізотропних інваріантних торів.

Показано, що інваріантні тори збуреної локально гамільтонової системи утворюють гладку в сенсі Вітні сімю. На відміну від глобально гамільтонового випадку для існування інваріантних торів як незбуреної, так і збуреної систем, необхідно накладати умову ортогональності на 1-форму (багатозначний гамільтоніан) як незбуреної, так і збуреної системи.

Доведена теорема дозволила встановити існування 3-вимірних коізотропних інваріантних торів у чотиривимірному фазовому просторі лагранжевої системи, яка описує рух електрона на двовимірному торі під впливом електромагнітного поля. О.І. Богоявленський показав, що фазовий простір зазначеної системи розшаровується тривимірними інваріантними торами лише в граничному випадку, одержаному після спрямування до нуля відношення меншого до більшого радіусів тороїдальної камери. Проблему існування інваріантних торів, коли зазначене відношення радіусів досить мале, але не нульове, зведено до виродженого випадку КАМ-теорії в його коізотропному і локально гамільтоновому варіанті.

Аналогічний варіант виродженого випадку КАМ-теорії має місце і при дослідженні околу квазістаціонарного положення локально гамільтонової системи, одержаної внаслідок одночасної деформації симплектичної структури і збуренні локально гамільтоновим векторним полем системи, інтегровної за Ліувіллем. Вивчено випадки, коли внаслідок такого деформування змінні дії p, асоційовані з незбуреною системою, перестають комутувати, так, що їхня матриця дужки Пуассона має вигляд {p,p}=MC і в першому випадку матриця C вироджена, а в другому - невироджена. Встановлено, що при зміщенні параметра збурення від нульового значення від тора T незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарному положенню еліптичного типу, відгалужується канторова множина коізотропних інваріантних торів. Ця множина майже повністю (в сенсі міри Лебега) заповнює деяку відкриту область, розташовану в околі тора. У випадку виродженої матриці C квазістаціонарні положення утворюють многовид розмірності k>0. У випадку ж невиродженої матриці C квазістаціонарні положення ізольовані.

Слід відзначити, що для глобально гамільтонових систем (b=0) за умови невиродженості матриці C описаний ефект виникнення канторової множини коізотропних інваріантних торів принципово неможливий.

В останньому розділі доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних. Ця теорема охоплює як вироджені випадки, так і невироджені випадки і дозволяє уніфікувати аналіз ситуацій, які виникають в теорії збурень інваріантних торів.

За допомогою цієї теореми досліджено задачу про збурення цілком інтегровної гамільтонової системи локально гамільтоновим векторним полем при одночасній деформації симплектичної структури. Така деформація породжує ненульову матрицю дужок Пуассона змінних дії. Результати про біфуркацію інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях розповсюджено на випадок, нееліптичного квазістаціонарного положення.

В останньому підрозділі розглянута задача про збурення умовно інтегровних локально гамільтонових систем. Показано, що за певних умов на незбурену умовно інтегровну систему при малих збуреннях одержана збурена система має інваріантний (центральний) многовид. На цьому інваріантному многовиді система, індукована вихідною збуреною системою, також є локально гамільтоновою. Ця індукована система має інваріантні тори, які несуть на собі квазіперіодичні рухи, що вдалося встановити методами КАМ-теорії з використанням з методу згладжування, запропонованого Ю. Мозером, у поєднанні з методом штучних параметрів.

1. Ловейкін Ю.В. Загальна КАМ-теорема для коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Вісн. Київ. ун-ту. Математика. Механіка. - 2004. - Вип. 11. - С. 53-58.

2. Ловейкін Ю.В. Теорема про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем та її застосування / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Нелінійні коливання. - 2005. - Т. 8, № 4. - С. 490-515.

3. Ловейкін Ю.В. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Нелінійні коливання. - 2006. - Т. 9, № 2. - С. 221-232.

4. Ловейкін Ю.В. Інваріантні тори локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Укр. Мат. Журн. - 2007. - Т. 59, № 1. - С. 71-98.

5. Ловейкін Ю.В. Збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровних локально гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В. // Математичний вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 177-192.

6. Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. Про одне узагальнення КАМ-теореми для коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга. - 2004. - С. 162.

7. Ловейкін Ю.В. Про існування квазіперіодичних траєкторій локально гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В. // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. - Львів. - 2005. - С. 296-297.

8. Ловейкін Ю.В. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях систем, інтегровних за Ліувіллем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка ""Диференціальні рівняння та їх застосування"". - Київ. - 2005. - С. 60.

9. Ловейкін Ю.В. Про біфуркацію коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга. - 2006. - С. 182.

10. Ловейкін Ю.В. Про біфуркацію коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем у нееліптичному випадку / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Математична наукова конференція ""Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування"". - К.: Вид-во Інституту математики НАН України. - 2006. - С. 62-63.

11. Ловейкін Ю.В. Про збурення інваріантних торів умовно інтегровних локально гамільтонових систем на центральних многовидах / Ловейкін Ю.В. // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. - Львів. - 2007. - С. 168.

Размещено на .ru